Optimisation d'une fonction

[sophie_lee]

On considère le problème P suivant :
optimiser f(x,y) = y²x³ sous la contrainte (1/2)y + 2x = 5

1) Donner le Lagrangien associé au problème.

J'ai trouvé donc, L(x,y,L) = y²x³+L (5-[(1/2)y + 2x] )

2) Donner les conditions nécessaires d'optimalité et en déduire les points candidats à être une
solution du problème P.

Je ne sais plus quelles sont les conditions nécessaires et je n'ai pas trouvé les points candidats .. je bloque là dessus depuis plusieurs jours, je n'arrive pas à mettre la main dessus. :mur:

3) Déterminer la nature (maximum, minimum, ni l'un ni l'autre) des points trouvés.

pour cet étape je sais comment faire, il suffit de remplacer les points candidats dans la matrice, et trouver par soustraction des diagonales et on trouve un chiffre soit négatif (minimum) soit positif (maximum) soit ni l'un ni l'autre, pour cette dernière je ne sais pas à quoi elle ressemble, c'est à dire je sais pas si elle est positive ou négative, ou les 2 en même temps ??? je suis perdu un peu beaucoup ... :help: :help: :help:

[jlb]

salut! tu n'aurais pas oublié de différencier pour le Lagrangien?

a priori, (0;10); (2,5;0) et (1,5;4) sont les points candidats si pas d'erreurs de ma part.

[sophie_lee]

salut! tu n'aurais pas oublié de différencier pour le Lagrangien?

a priori, (0;10); (2,5;0) et (1,5;4) sont les points candidats si pas d'erreurs de ma part

Oui c'est bien ça, mais comment as tu trouvé ceci ? je suis bloqué à ce niveau là. Tu as résolue le système c'est ça ? peux tu mettre les détails s'il te plaît ? Merci beaucoup :help:

[Archibald]

2) CPO (conditions première ordre) :

3) CSO puis utiliser la matrice hessienne ...

[Sylviel]

Pour prendre un petit peu de recul :

toute la théorie de la dualité tourne autour de l'idée de construire un Lagrangien telle que l'optimum de la fonction d'origine soit un point selle de ce Lagrangien. Les conditions du premier ordre traduise ce fait "au premier ordre". Or un point selle signifie
- minimum en x
- maximum en lambda

i.e pour les points candidats :
- la dérivée par rapport à x du Lagrangien doit être nulle
- la dérivée par rapport à lambda du lagrangien doit être nulle

Donc ton cas mon x était le couple (x,y)

[jlb]

Oui c'est bien ça, mais comment as tu trouvé ceci ? je suis bloqué à ce niveau là. Tu as résolue le système c'est ça ? peux tu mettre les détails s'il te plaît ? Merci beaucoup :help:

bonsoir, j'ai complété au dessus mais bon c'est à vérifier!!!

[jlb]

bonsoir,
tu écris que df et dg sont liées en calculant un déterminant (où g(x,y)=2x+0,5y-5), cela te donne la condition 8yx^3=3y²x² ou encore yx²(8x-3y)=0 et pour chaque possibilité (y=0 ou x²=0 ou 8x-3y=0) tu obtiens le couple à partir de la condition g(x,y)=0].

en (0,10) pas grand chose ( regarde ce qui se passe pour x positif (puis négatif) proche de 0), en (2,5;0) minimum local et en (1,5;4) maximum local si toujours pas d'erreurs!!).
j'ai cherché un développement limité de f au voisinage de chaque point en tenant compte de la condition au voisinage du point, cela permet de conclure.

par contre, je ne connais pas la méthode pour les extréma liés à partir de Hessienne, que faut-il vérifier exactement par rapport à extréma si quelqu'un peut m'éclairer, merci!!