Optimisation d'une aire

[Spartax]

Bonjour,

J'ai passer aujourd'hui mon examen de math, le niveau n'est pas particulièrement difficile étant donné que ce n'est qu'un petit cours dans mes études mais j'ai eu une question à laquelle je ne vois absolument pas comment trouver sa solution (si ce n'est par tâtonnement mais ce n'était sûrement pas le but)
Voici la question :
On veut clôturer 3 terrains situés les uns accolés aux autres (voir fichier paint joint) (Pas réussi à le joindre donc : le dessin est assez simple, il faut juste imaginer 3 rectangles qui sont collé les uns à la suite des autres. Le premier à une longueur "x" et une largeur "y" et un de ses côtés "y" est le côté "y" du 2ème qui à une longueur "2x" et sont second côté "y" est en commun avec un côté "y" du 3ème qui à une longueur 3x. Ensemble, c'est 3 rectangles forment donc un plus grand rectangle avec donc 2 côtés "x + 2x + 3x" , 2 côtés "y" + 2 "côtés" "y" à l'intérieur faisant la séparation entre les rectangles.)

Vous disposez de 1200 mètres de clôture, déterminer les valeurs de x et y pour obtenir une aire totale maximale :
Là j'ai l'équation 1200= 12x + 4y
Mais je n'ai rien d'autre qui me permette d'isoler une inconnue... par tâtonnement j'ai trouvé que x=50 et y=150
Je sais aussi que : Aire = 6xy
Mais je ne connais pas la valeur de l'air maximum....
J'ai dans mon cours également une formule me permettant de trouver la valeur de 2 nombres si je connais la valeur de la somme de ces 2 nombres et du produits de ces 2 nombres, mais je ne connais pas le produit, vu que cela se rapporte à l'air.
Merci d'avance à celui ou ceux qui prendront le temps de me lire et surtout de me répondre

[Ben314]

Salut,
2 méthodes (au moins....)

1) De 1200=12x+4y tu déduit la valeur de y en fonction de x (ou le contraire) que tu reporte dans A=6xy de façon à ce que A soit en fait une fonction de x uniquement (ou bien de y uniquement).
Tu étudie ensuite cette fonction comme on le ait au Lycée pour déterminer la valeur maximale (attention : x et y doivent être positifs ce qui implique que x est dans un certain intervalle et bien sûr, c'est uniquement sur cet intervalle là qu'on étudie la fonction x->A)

2) Tu connait la somme S de 12x et de 4y : S=1200 et tu aimerait que le produit P de 12x et de 4y soit le plus grand possible (vu que c'est l'aire multipliée par 8). Or, pour qu'il existe des réels de somme S et de produit P, ben il faut que l'équation du second degré X^2-SX+P=0 ait des solutions (réelles), c'est à dire que son discriminant soit positif soit encore que S^2-4P >= 0 et donc que P <= S^2/4 ce qui te donne le max possible pour P (donc pour A).

[Spartax]

Un grand merci