Optimisation
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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aby0
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par aby0 » 20 Fév 2017, 14:07
Bonjour,
voici l’énoncé de l'exercice que je cherche a faire.
Soit A matrice d'ordre n symétrique définie positive.
1.En utilisant l'inégalité de Cauchy-shwarz, montrer l'inégalité :
je dois le montrer d'abord pour une matrice diagonale puis pour une matrice quelconque.
2.Soit u un vecteur non nul . résoudre le programme :
3.En déduire de nouveau l'inégalité de la question 1.
où j'en suis:
1. Soit D une matrice diagonale
je ne sais pas comment comparer les deux termes afin de pouvoir conclure.
2.Je trouve:
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aviateur
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par aviateur » 20 Fév 2017, 14:39
A est s.d.p donc soit B sa racine carré qui est aussi sdp.
On a <u,v>=<Bu,B^-1v><= (c.s) <Bu,Bu>< B^-1v,B^-1v>=<u,BBu>,<v,B^-1B^-1v>=<u,Au><v,A^-1 v> cqfd
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aby0
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par aby0 » 20 Fév 2017, 17:00
Cette démonstration ne marche que pour une matrice diagonale ou aussi pour une matrice quelconque?
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aviateur
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par aviateur » 20 Fév 2017, 17:14
Non cette démonstration est correcte pour la matrice A de l'énoncé qui est s.d.p mais pas forcément diagonale.
D'abord A étant symétrique définie positive , elle es t diagonalisable dans une b.o.n et donc
D=P^(-1)AP=P^t AP a ses éléments diagonaux strictement positifs. Il est facile de comprendre alors ce qu'est la racine carrée de D (que je note H par exemple.
Puisque A=P D P^t=P H H P^t = P H P^t P H P^t= B B =B ^2 , B est la racine carrée de A. Ilest facile de voir que B est aussi s.d.p . Ensuite dans les calculs , j'ai utlisé que les matrice en jeux sont sysmétriques
c-a-d <Au,v>=(<u, A^tv>)=<u,A v> idem avec A^(-1), B , B^(-1)
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aby0
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par aby0 » 20 Fév 2017, 18:17
D'accord merci beaucoup!
Pour la question 3 est-ce je dois partir du fait que
, ce qui implique
et montrer que l'inégalité de départ vrai si
?
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aviateur
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par aviateur » 20 Fév 2017, 18:30
pour la question 3. 2. implique 1 lorsque <v,Av>=1<v,Av>=1. La fin de la démo n'est qu'une question de normalisation, i.e
si <v,A v> qcq (mais >0 bien sûr) pose w=1/<v,Av> v et on vérifie que <w,Aw>=1. On peut appliquer l'inégalité à w et qu'en on remplace en fction de v on trouvele résultat.
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aby0
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par aby0 » 20 Fév 2017, 19:55
D'accord j'ai compris merci !
Par contre il faudrait plutôt poser
et non
c'est bien ça ?
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aviateur
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par aviateur » 20 Fév 2017, 20:00
oui c'est bien cela
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Ben314
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par Ben314 » 20 Fév 2017, 20:37
Concernant la question 1. on peut aussi la faire sans utiliser de racine de A (et donc sans utiliser le fait que toute matrice symétrique est diagonalisable dans une b.o.n.) mais en utilisant par contre la définition même de "symétrique définie positive" :
Si A est symétrique définie positive, alors
est une forme bilinéaire symétrique définie positive et Cauchy-Shwarz appliqué à cette forme là nous dit que
qui est exactement la formule demandée.
Par contre, que ce soit avec cette méthode ou celle de aviateur, l'indication "commencer par le cas diagonal" n'a pas trop de sens...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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