Optimisation

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aby0
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Optimisation

par aby0 » 20 Fév 2017, 14:07

Bonjour,
voici l’énoncé de l'exercice que je cherche a faire.
Soit A matrice d'ordre n symétrique définie positive.

1.En utilisant l'inégalité de Cauchy-shwarz, montrer l'inégalité :
je dois le montrer d'abord pour une matrice diagonale puis pour une matrice quelconque.

2.Soit u un vecteur non nul . résoudre le programme :

3.En déduire de nouveau l'inégalité de la question 1.



où j'en suis:
1. Soit D une matrice diagonale




je ne sais pas comment comparer les deux termes afin de pouvoir conclure.


2.Je trouve:



aviateur
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Re: Optimisation

par aviateur » 20 Fév 2017, 14:39

A est s.d.p donc soit B sa racine carré qui est aussi sdp.
On a <u,v>=<Bu,B^-1v><= (c.s) <Bu,Bu>< B^-1v,B^-1v>=<u,BBu>,<v,B^-1B^-1v>=<u,Au><v,A^-1 v> cqfd

aby0
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Re: Optimisation

par aby0 » 20 Fév 2017, 17:00

Cette démonstration ne marche que pour une matrice diagonale ou aussi pour une matrice quelconque?

aviateur
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Re: Optimisation

par aviateur » 20 Fév 2017, 17:14

Non cette démonstration est correcte pour la matrice A de l'énoncé qui est s.d.p mais pas forcément diagonale.
D'abord A étant symétrique définie positive , elle es t diagonalisable dans une b.o.n et donc
D=P^(-1)AP=P^t AP a ses éléments diagonaux strictement positifs. Il est facile de comprendre alors ce qu'est la racine carrée de D (que je note H par exemple.

Puisque A=P D P^t=P H H P^t = P H P^t P H P^t= B B =B ^2 , B est la racine carrée de A. Ilest facile de voir que B est aussi s.d.p . Ensuite dans les calculs , j'ai utlisé que les matrice en jeux sont sysmétriques
c-a-d <Au,v>=(<u, A^tv>)=<u,A v> idem avec A^(-1), B , B^(-1)

aby0
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Re: Optimisation

par aby0 » 20 Fév 2017, 18:17

D'accord merci beaucoup!

Pour la question 3 est-ce je dois partir du fait que , ce qui implique

et montrer que l'inégalité de départ vrai si ?

aviateur
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Re: Optimisation

par aviateur » 20 Fév 2017, 18:30

pour la question 3. 2. implique 1 lorsque <v,Av>=1<v,Av>=1. La fin de la démo n'est qu'une question de normalisation, i.e
si <v,A v> qcq (mais >0 bien sûr) pose w=1/<v,Av> v et on vérifie que <w,Aw>=1. On peut appliquer l'inégalité à w et qu'en on remplace en fction de v on trouvele résultat.

aby0
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Re: Optimisation

par aby0 » 20 Fév 2017, 19:55

D'accord j'ai compris merci !
Par contre il faudrait plutôt poser et non
c'est bien ça ?

aviateur
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Re: Optimisation

par aviateur » 20 Fév 2017, 20:00

oui c'est bien cela

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Ben314
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Re: Optimisation

par Ben314 » 20 Fév 2017, 20:37

Concernant la question 1. on peut aussi la faire sans utiliser de racine de A (et donc sans utiliser le fait que toute matrice symétrique est diagonalisable dans une b.o.n.) mais en utilisant par contre la définition même de "symétrique définie positive" :

Si A est symétrique définie positive, alors est une forme bilinéaire symétrique définie positive et Cauchy-Shwarz appliqué à cette forme là nous dit que qui est exactement la formule demandée.

Par contre, que ce soit avec cette méthode ou celle de aviateur, l'indication "commencer par le cas diagonal" n'a pas trop de sens...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

 

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