Optimisation sous contrainte. Lagrange KKT

[Gorosei]

Bonjour,
Soit sous les contraintes

J'ai résolu le problème avec KKT et la dernière question est comment expliquer que l'on peut utiliser Lagrange pour résoudre ce problème .
Pour utiliser Lagrange, il nous faut des contraintes d'égalité mais je ne vois pas comment on peut justifier.

Merci

[GaBuZoMeu]

Optimiser un objectif linéaire sur un ensemble convexe, ça se passe forcément à la frontière de ce convexe.

[Sylviel]

Pour utiliser Lagrange, il nous faut des contraintes d'égalité

faux. Les conditions de KKT existe dans le cas égalité et inégalité.

Optimiser un objectif linéaire sur un ensemble convexe, ça se passe forcément à la frontière de ce convexe.

Vrai (encore faut-il le prouver suivant les outils à dispo) mais remplacer l'inégalité par une égalité nous fait quitter le monde convexe, donc il faut être un peu soigneux dans ce que l'on raconte.

En revanche dans tous les cas pour utiliser KKT il faut parler de qualification des contraintes.

[GaBuZoMeu]

remplacer l'inégalité par une égalité nous fait quitter le monde convexe, donc il faut être un peu soigneux dans ce que l'on raconte.

Ben justement, les multiplicateurs de Lagrange ne font pas intervenir la convexité.
Soigneux ? Bien sûr, il ne faut pas raconter n'importe quoi, mais c'est le truc standard pour rechercher une extremum local sous contrainte

[Sylviel]

KKT est une CNS dans le monde convexe (sous hypothèse de qualification).
Ici je ne vois pas l'intérêt de remplacer l'inégalité par une égalité.

[GaBuZoMeu]

Parlons concrètement. Le maximum est atteint sur le bord du domaine pour raison de convexité, et pas sur les morceaux d'axes vu que les coefficients de x et y dans la fonction objectif sont positifs. On a donc à trouver le maximum de cette fonction objectif linéaire sur le quart de cercle et ça c'est à peu près évident. Non ?