Optimisation sans contraintes

[youbix]

Bonsoir
Comme je l'ai dit dans le poste précedent je n'ai pas eu le cours concernant cette partie du pgm. Je voulais donc avoir quelques indications.

Trouver les valeur (x,y) qui maximise la fonction f(x,y)=3xy-x^3-y^3
D'après ce que j'ai compris grâce a fatal error j'arrive a cela:
f'x(x,y)=3y-3x²
f'y(x,y)=3x-3y²
On trouve donc comme couple candidat (1,1)

Hess(-6x,3)
(3,-6y)
Je trouve donc d|H|=-45 et t|h|=-12
Ce que je n'ai pas compris, c'est en partant du principe que ce que j'ai fait jusqu'a présent est juste, Puis-je maintenant dire que Hess est semi definit negative?
Donc je peut affirmer que f(x,y) admet un maximum en (1,1) ??
Merci d'avance.

[leon1789]

Trouver les valeur (x,y) qui maximise la fonction f(x,y)=3xy-x^3-y^3
D'après ce que j'ai compris grâce a fatal error j'arrive a cela:
f'x(x,y)=3-x²
f'y(x,y)=3-3y²

?????? étranges tes dérivées partielles !

[youbix]

oui pardon, modifié.

[leon1789]

oui pardon, modifié.

c'est moins faux, mais toujours pas juste

[youbix]

Re modifié. J'éspère que c'est enfin juste

[youbix]

En gros je n'ai pas bien saisit si une fois cela démontré je peut affirmer que le point (1,1) est bien le maximum local. Et est ce que avec mon determinant et ma trace j'ai bien montré que Hess était semi défini positive?
Merci

[youbix]

Tous le monde est de sortit on dirai :(

[youbix]

Toujours personne svp ?

[fatal_error]

re,

supposons qu'on trouve effectivement
det(H)=-45
tr(H) = -12

a partir du det, on deduit qu'on a une valeur propre positive, et une autre negative.
Donc H n'est pas definie positive (il faut toutes les valeurs propres positives)

[youbix]

Mais je trouve que le det et la trace sont negative, donc j'ai bien H definie negative non ? Donc 1,1 est bien un maximum local?global?

[john32]

Le calcul du determinant de la Hessiene ne donnerait il pas 27 au lieu de -45 ? :hein:

[fatal_error]

Mais je trouve que le det et la trace sont negative, donc j'ai bien H definie negative non ?

non!
Pour determiner si ta matrice est definie positive, il faut que toutes ses valeurs propres soient definies positives. Ta matrice H est symetrique a coeff reels donc elle est diagonalisable. Notons sa matrice diagonale formée des valeurs propres D.
Si tu calcules le determinant de D, tu trouves

avec
et les valeurs propres de H.
Maintenant, si alors et sont de même signe.
Pour savoir si les deux valeurs sont positives, tu t'aides de la trace sachant que
Sans tenir compte de la remarque de john32 qui est certainement correcte, tu as un determinant negatif.
Donc les valeurs propres sont de signes différents. DONC la matrice n'est ni pos, ni neg

[john32]

Pour determiner si ta matrice est definie positive, il faut que toutes ses valeurs propres soient definies positives. Ta matrice H est symetrique a coeff reels donc elle est diagonalisable. Notons sa matrice diagonale formée des valeurs propres D.
Si tu calcules le determinant de D, tu trouves

avec
et les valeurs propres de H.
Maintenant, si alors et sont de même signe.
Pour savoir si les deux valeurs sont positives, tu t'aides de la trace sachant que
Donc les valeurs propres sont de signes différents. DONC la matrice n'est ni pos, ni neg

Beau resume Fatalerror :++:

[youbix]

Super je pensais comprendre me voilà complètement perdu.
je suis perdu entre determinant valeur propre, trace, je n'ai surtout pas le processus de raisonement pour ce genre d'exercice. Le vocabulaire m'est donc plutôt étranger.

J'aimerai reprendre du début:
donc Toujours maximiser f(x,y)=3xy-x^3-y^3
dc on en revient a
f'x(x,y)=3y-3x²
f'y(x,y)=3x-3y²
Donc toujours le couple candidat (1,1)
H(-6x,3)
(3,-6y)
Et c'est Ici que je suis perdu.
D'après ce que j'ai trouver sur google le determinant c'est d|h|=36-9=27
car d|h| pour une matrice
(ab)
(cd)
est égal a ad-bc, et la trace est egale à la somme de la diagonale de la matrice.
Donc ici T|h|=-12
Alors déjà je ne sais pas si mes définitions de trace et determinant sont bonne, et ensuite a partir de là que puis je dire. Malgé l'explication de fatal error, cela m'a un petit peu plus embrouillé.
D'après ce qu'il a dit j'ai une valeur négative et une positive. Donc (1,1) n'est pas un maximum c'est cela? donc pas de maximum? ce qui ne veut rien dire !! il y a forcément un maximum.
Je suis perdu !!
Merci d'avance de votre aide

[youbix]

non!
Pour determiner si ta matrice est definie positive, il faut que toutes ses valeurs propres soient definies positives. Ta matrice H est symetrique a coeff reels donc elle est diagonalisable. Notons sa matrice diagonale formée des valeurs propres D.
Si tu calcules le determinant de D, tu trouves

avec
et les valeurs propres de H.
Maintenant, si alors et sont de même signe.
Pour savoir si les deux valeurs sont positives, tu t'aides de la trace sachant que
Sans tenir compte de la remarque de john32 qui est certainement correcte, tu as un determinant negatif.
Donc les valeurs propres sont de signes différents. DONC la matrice n'est ni pos, ni neg

Et non pour moi ce n'est pas un bon résumé, enfin cela doit en être un excellent, mais comme je l'ai dit je n'ai pas eu le cours grâce à ces grèves si énervantes. Depuis 5 semaines maintenant !!
Donc je n'ai pas du tout le vocabulaire utilisé ici.
Les termes en gras pour moi ont une signification très incertaine

[fatal_error]

Ca me surprend que vous vous tapiez des trucs style hessien alors que nous on a vu ca qu'en deuxieme année. (la diagonalisation en premiere année).

Le plus simple c'est de regarder sur wiki ou de trouver des pdf sur les cours de diagonalisation,yen a des plutot pas mal :we: .

Concernant H sym a coeff reels, en fait j'avais la flemme de reflechir a qu'est-ce qu'il se passerait si H n'était pas diagonalisable.

H symetrique signifie
H a coeff réels signifie que tous les coeff dans la matrice H sont des réels

Donc (1,1) n'est pas un maximum c'est cela? donc pas de maximum? ce qui ne veut rien dire !! il y a forcément un maximum.

Non c'est pas un maximum. Non il n'y a pas forcément de maximum. Imagine une fonction f(x,y)=x^2+y^2. Ben elle admet pas de maximum.

Bon, concernant tes def de determinant et trace :

[youbix]

j'ai enfin tout compris.
Mes valeurs propre je les trouve avec la formule det(A-Lambda*I)
donc quand je fait sa pr l'exemple je trouve -18 et -6
Ou alors est ce que quand j'ai une matrice hessiene symetrique je peut dire que mes valeurs propre sont la diagonale ? donc dans ce cas -6 et -6 ?

[fatal_error]

non les valeurs propres sont pas sur la diagonale de la matrice hessienne. Ca serait trop facile.
L'astuce avec la trace et le determinant t'évite de calculer (explicitement) les valeurs propres. Apres, tu peux aussi les calculer avec det(A - lambda I)=0.