Optimisation non linéaire :(

[Claiw]

Bonjour, j'ai un rattrapage en optimisation mathématique et j'essaye de refaire des exos pour réviser. Quelqu'un pourrait il m'aider?
J'ai essayé de répondre aux questions de l'exo, mais je me pose des questions justement...

Pour le problème
Maximiser x1x2x3
S.C.:
2.x1 + x2 + 3.x3 <=1
x1 , x2 , x3 >= 0

Q1: La condition de qualification des contraintes est elle vérifiée pour tout point solution de (P)?

Je me ramène au problème de minimiser une fonction -car en cours on avait que des problèmes demandant de minimiser, alors bon..-

Minimiser -x1x2x3
S.C.:
2x1 + x2 + 3x3 <=1
x1 , x2 , x3 >= 0
Je pose xT = (x1,x2,x3)

g4(x) = 2x1 + x2 + 3x3 -1
g1(x) = - x1
g2(x) = - x2
g3(x) = - x3

les gi étant linéaires sur Rn, elles sont convexes sur Rn donc l'ensemble (S) des solutions pour le problème (P) est convexe.
De plus si on prend xT = (1/8; 1/8; 1/6)
Il appartient bien à (S) et il vérifie que les gi(x) < 0
Par conséquent le problème vérifie la condition de Slater donc la qualification des contraintes est vérifiée en tout point solution de (P).

Q2: Les conditions de KKT sont elles nécessaires? Nécessaires et suffisantes? Ni nécessaires ni suffisantes?

Le hessien de f est :
| 0 -x3 -x2 |
| -x3 0 -x1 |
| -x2 -x1 0 |

La fonction est semi définie positive car les termes diagonaux sont égaux à zéro (donc >= O ) -je pense que je dis nawak..? -
DONC la fonction f est convexe et par conséquent vu que nous avons déjà la condition de Slater, KKT est nécessaire et suffisante.

est ce suffisant pour dire que KKT est nécessaire et suffisante?
En fait, j'ai KKT nécessaire et suffisante si j'arrive à prouver que la fonction à minimiser est convexe. Mais bon, ça me semble bizarre que -x1x2x3 soit convexe... c'est un peu le brouillard en fait...