Optimisation dans IR^n

par **hervedo** » 17 Avr 2013, 16:58

Bonjour à tous,

Est-il vrai qu'une fonction convexe ou concave sur IR^n admet au plus un point critique ?
Si oui comment le montrer ?

Merci de votre aide.

par **leon1789** » 17 Avr 2013, 17:37

ça va être dur à prouver car c'est faux en toute généralité : prendre une fonction constante...

par **hervedo** » 17 Avr 2013, 18:15

Ah ben oui...merci beaucoup.
Un exemple de fonction non constante convexe qui admet plusieurs points critiques ?

par **leon1789** » 17 Avr 2013, 18:26

voir parmi

par **hervedo** » 17 Avr 2013, 18:38

Sauf erreur...ces fonctions ne sont ni convexes ni concaves...

Merci

par **leon1789** » 17 Avr 2013, 19:07

hervedo a écrit:Sauf erreur...ces fonctions ne sont ni convexes ni concaves...

pourquoi ?

par **hervedo** » 17 Avr 2013, 19:59

Le déterminant de la première Hessienne (=-8x^2y^2) est négatif sur IR^2 donc f est ni convexe ni concave. Pour la deuxième fonction det()=4(x+y)^2-4 et là encore det n est pas positif sur IR^2 tout entier.

par **leon1789** » 17 Avr 2013, 21:02

hervedo a écrit:Le déterminant de la première Hessienne (=-8x^2y^2) est négatif sur IR^2 donc f est ni convexe ni concave. Pour la deuxième fonction det()=4(x+y)^2-4 et là encore det n est pas positif sur IR^2 tout entier.

Pour la première, ok, même si de mon coté, je trouve -12x^2y^2 .

En revanche, pour la seconde, il y a une erreur plus importante dans ton calcul.

par **hervedo** » 17 Avr 2013, 21:11

Oups en effet pour la première 4-16=-12 :)
Et pour la deuxième j ai fait du grand n importe quoi et surtout pas une Hessienne...j ai bien un déterminant nul et une trace positive pour tout (x,y)...f est bien convexe et j ai bien plus d'un (!!!) point critique.

Merci beaucoup leon1789, bonne soirée.

par **leon1789** » 17 Avr 2013, 22:42

Y a pas quoi ! :lol3:

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