Opérations élémentaires sur les matrices - Chgts de base

[brouversliet]

Bonjour,

J'aurais voulu avoir une justification de l'interprétation en terme de changement de base des opérations élémentaires sur les matrices visant à obtenir une forme dite "échelonnée".

Par exemple, si est la matrice d'un endomorphisme de dans dans les bases respectives et :
Sa forme échelonnée est
On sait (enfin pour le coup dans mon cas c'est plus "on admet") que, pour obtenir les matrices de changements de base à l'arrivée (respectivement au départ) il faut reporter les opérations faites sur les lignes (respectivement sur les colonnes) à la matrice identité.
On obtient donc respectivement et
Ces matrices correspondraient donc respectivement à la matrice de dans la nouvelles base (i.e. la colonne donne les coordonnées du vecteur dans la base ) et à la matrice de dans la base .
La matrice échelonnée donne quant à elle la matrice de l'endomorphisme dans les bases au départ et à l'arrivée.

J'aurais voulu savoir d'où tout cela provient. Jusqu'à présent, j'ai toujours "admis" que ça fonctionnait comme ça, mais quand il s'agit maintenant d'appliquer cela à des notions plus complexes (forme normale de Smith et décomposition primaire des modules notamment), je me rends compte que je suis totalement largué sur ce point. Et j'ai beau chercher dans les livres de L1-L2, ils expliquent la méthode du pivot de Gauss pour échelonner les matrices mais ne donnent généralement pas les lien avec les deux matrices de changement de base explicitées dans cet exemple...

[GaBuZoMeu]

Tu as l'air d'avoir des problèmes de droite et de gauche, dirait-on.

Les opérations élémentaires sur les lignes sont des multiplications à gauche par des matrices inversibles, c.-à-d. des changements de base à l'arrivée.

Les opérations élémentaires sur les colonnes sont des multiplications à droite par des matrices inversibles, c.-à-d. des changements de base au départ.

Précisément, si avec et inversibles, alors est la matrice de changement de base à l'arrivée et la matrice de changement de base au départ. En notant avec des "primes" les nouvelles coordonnées, on a et . Ainsi est bien équivalent à .

[GaBuZoMeu]

Petit ajout : les matrices inversibles qui donnent la forme normale de Smith ne sont pas uniques, bien sûr. SageMath donne

Code: Tout sélectionner

[-1  2  1]         
[ 0  1  0]  [ 1 -3]
[ 4 -6 -3], [ 0  1]

et à la main j'obtiens

Code: Tout sélectionner

[-1  0  1]       
[ 0  1  0]  [1 1]
[-4  6  3], [0 1]

Il y a tout de même un invariant, au signe près : la dernière ligne de la matrice 3x3. Sais-tu l'interpréter ?