Opérateurs positifs - Cauchy Schwaz généralisée

[brouversliet]

Bonjour,

Dans un cours sur les opérateurs positifs, on a l'inégalité suivante (Cauchy-Schwarz généralisée) :

Soit un espace de Hilbert et un opérateur positif (i.e. tel que et ).



Pour la preuve, on dit simplement d'appliquer Cauchy-Schwarz à la forme hermitienne .
Le problème, c'est que pour appliquer Cauchy-Schwarz, il faut normalement un produit scalaire...
J'ai donc essayé de montrer que ainsi définie était un produit scalaire, mais je n'arrive pas à montrer qu'elle est "définie" (i.e. que ).
Autant le fait que soit "positive", ça découle de la positivité de ; B est évidemment hermitienne, mais pour le fait qu'elle soit "définie", je sèche...

Merci d'avance pour votre aide !

[jsvdb]

Le problème, c'est que pour appliquer Cauchy-Schwarz, il faut normalement un produit scalaire...

Bah non, ça marche aussi avec les formes hermitiennes définies positives.

Par ailleurs, tu auras dès lors que par hypothèse . Mais cette hypothèse ne figure pas dans ton énoncé.

[brouversliet]

Bah non, ça marche aussi avec les formes hermitiennes définies positives.

Bah c'est pas la même chose "produit scalaire" et "hermitienne définie positive" ?

Par ailleurs, tu auras dès lors que par hypothèse . Mais cette hypothèse ne figure pas dans ton énoncé.

Et du coup ça doit faire partie de la définition d'opérateur positif ?

Sur internet j'ai trouvé un autre cours où ils démontrent "directement" cette inégalité (en reprenant plus ou moins l'idée de la preuve de Cauchy-Schwarz classique) : http://mostefanadir.com/Operators%20The ... sitifs.pdf (théorème 2, page 3 du poly). Mais là aussi ils supposent implicitement que (pour le choix du ) ... (avant dernière ligne de la page 3).
Et pourtant, cette condition ne figure pas non plus dans leur définition d'opérateur positif...

[jsvdb]

Un opérateur positif vérifie simplement pour tout .
Il est en plus défini positif si .
Tu peux tout-à-fait montrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz sans être défini positif (en revanche, il doit être positif)

[brouversliet]

Ok, merci.
Mais dans ce cas, comment fais-tu pour montrer Cauchy-Schwarz dans le cas où la forme hermitienne n'est pas supposée définie ?

[jsvdb]

Bah je ne vois pas ce qui te chagrine, tu reprends la démonstration en traitant le cas à part.
Pour la forme positive , tu regardes et tu supposes .
La positivité de P te forcera à avoir et l'inégalité de CS sera à fortiori encore vraie.

[brouversliet]

Effectivement, vu comme ça, ça fonctionne. Merci.