Operateur d/dt

[ths1104]

Bonjour,
Je suis tombé sur la formule suivante :



Qu'est ce que cela represente-t-il? Pourquoi a-t-on le droit d'écrire cela? Ou puis-je trouver plus d'informations ?

Notamment, peut-on simplifier en haut et en bas par , , ? ce qui donne :



Pourquoi?
Merci d'avance
ths1104

[Ben314]

Bonjour,
Ta "formule", telle qu'elle est écrite me laisse un peu perplexe...
La seule chose à laquelle elle me fait penser est la dérivée d'une fonction composéé :
si x,y,z sont des fonctions de t et f une fonction de x,y,x alors


(ce n'est pas exactement la même que toi....)

Par contre, "simplifier par " est à mon sens à peut prés du même style que :
(je simplifie par "x") = (je simplifie par "s") :marteau:
Je pense que tu vois ce que je veux dire.....

[Skullkid]

Salut, ta formule montre comment calculer la dérivée totale d'une fonction de plusieurs variables.

Par exemple si tu as une fonction f(x,t) = x²t, tu peux calculer sa dérivée partielle par rapport à t : . x étant une des variables de la fonction, on ne s'est pas soucié de savoir si x dépendait de t (pour calculer une dérivée partielle, on considère les autres variables comme constantes).

En revanche, quand tu dois calculer la dérivée totale de f par rapport à t, tu dois prendre en compte la dépendance mutuelle des variables. Par exemple on peut supposer ici que x(t) = 2t. Dans ce cas, la dérivée totale de f par rapport à t est

Dans ton exemple, tu as une fonction de 4 variables f(x,y,z,t), et du coup

Bref, quand tu calcules une dérivée partielle, tu bloques les variables qui t'intéressent pas, et quand tu calcules une dérivée totale, tu prends en compte l'interdépendance éventuelle des variables.

Quant au fait de simplifier par , ça n'est évidemment pas possible.

[ths1104]

@Ben314 :
Ne parles-tu pas plutot d'une dérivée droite? Ce qui donnerait :



Je suis totalement d'accord avec cette formule-ci. Dans mon cas, ma fonction est une fonction physique qui dépend de (x,y,z,t), donc à priori (x,y,z) sont les variables de l'espace et ne dépendent pas de t.

@Skullkid :
D'après la formule de la différentielle totale (http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9riv%C3%A9e_partielle) :



Si je considère ma fonction de 4 variables (x,y,z,t) :



Je divise à droite et à gauche par dt :



Ce qui nous donne ta formule (et la mienne) à la différence près des "d ronds" et des "d droits". Peut être y a-t-il une erreur dans mon article (ce ne serait pas la première)?

[Ben314]

Ne parles-tu pas plutot d'une dérivée droite? )

Si tu veux (je ne vois pas ce qu'est une dérivée à droite).
Pour moi, c'est la composition de ( R->R^3 ; t->(x(t),y(t),z(t)) ) et de ( R^3->R ; (x,y,z)->f(x,y,z) ).
Je pense que de toute façon, le nom qu'on lui donne ne change vraiment rien au problème...

Dans mon cas, ma fonction est une fonction physique qui dépend de (x,y,z,t), donc à priori (x,y,z) sont les variables de l'espace et ne dépendent pas de t.

Là, ca m'étonne un peu, souvent, en physique, x,y,z, désignent les positions d'un objet à l'instant t et donc... dépendent de t. Mais, évidement, cela dépend de ce que l'on étudie...

Enfin la formule que tu donne (qui commence avec le df/dt) est exactement la même que l'autre où on remplace R^3 par R^4 et dans laquelle il y a une légére simplification du fait que la première fonction de ( R->R^4 ; t->(t,x(t),y(t),z(t)) ) a une dérivée égale à 1.....

[ths1104]

@Ben314 :

Tu as raison pour les variables, elles dependent toutes du temps.

J ai donc édité mon message précédant :
"d droit" = d
"d rond" =
La formule donnée est elle correcte pour f(x(t),y(t),z(t)) ?

[Ben314]

Sur les d"rond" et les d"droit", je préfère ne pas répondre, j'ai vraiment l'impression que le point de vue matheux-physiciens sur ces notions est trés différent.
En math., on ne divise pas par de d"quelque chose", ni rond, ni droit...
(de tout facon, en math, les d"rond" sont forcément... en bas d'une fraction)
Je peut juste te dire que, parlant de dérivées partielles, la formule finale est juste.... (sauf que pour moi, c'est tout des d"ronds" dans cette formule...)

[ths1104]

Mais x(t) est une fonction de la seule variable t donc :



?

Je sens que je vais réouvrir mon livre de calcul diff...

Des d"rond" partout dans la formule, c'est le point de vue "matheux"?

[Ben314]

Je te pose la "question_qui_tue" : dans ton dernier post, quelle différence fait tu entre les d"rond" et les d"droit" dans l'expression ?

En ce qui me concerne (matheux) on a une fonction x dépendant de t et on dérive par rapport à t....
(je ne vois pas trés bien ce que l'on peut faire d'autre)

donc je te confirme que, quand j'écrit des d"bidule"/d"machin" j'utilise toujours des d"rond".
(ca peut aussi vouloir dire que j'est un gros nul.... je te l'accorde...)

[Skullkid]

Je divise à droite et à gauche par dt :



Ce qui nous donne ta formule (et la mienne) à la différence près des "d ronds" et des "d droits". Peut être y a-t-il une erreur dans mon article (ce ne serait pas la première)?

Non il n'y a pas d'erreur. Il faut bien comprendre que cette astuce physicienne du "on divise par dt" a ses limites, surtout quand on touche à des fonctions de plusieurs variables. Il est important en physique de savoir jouer avec les dt et compagnie, mais il faut toujours garder à l'esprit que ce ne sont que des astuces de calcul qui évitent d'avoir affaire aux maths un peu lourdes qui sont derrière, et qu'elles ne sont pas toutes puissantes.

En ce qui concerne la fonction f(x(t),y(t),z(t)), c'est une fonction d'une seule variable : t, donc dérivée totale (dite dérivée droite) et dérivée partielle sont égales, et la formule donnée plus haut est correcte.

[ths1104]

@ Ben314 & Skullkid : En résumé



Merci pour votre aide.

[Ben314]

Ben, j'aurais au moins appris quelque chose aujourd'hui :id:
("dérivée totale" et "dérivée droite")