Opérateur de Hilbert-Schmidt
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Ouimet21
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par Ouimet21 » 12 Avr 2012, 04:23
Bonjour,
J'ai un opérateur de Hilbert-Schmidt défini de L2[0,1] dans L2[0,1] dont le noyau est la fonction:
max(x,y)
Cet opérateur est compact et auto-adjoint.
Je dois trouver toutes les valeurs propres et tous les vecteurs propres associés à cet opérateur.
Pour l'instant, j'ai trouvé que e^x est un vecteur propre pour la valeur propre 1.
Est-ce qu'il y a un truc pour trouver explicitement tout ce qui est demandé?
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girdav
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par girdav » 12 Avr 2012, 10:33
Si on appelle
cet opérateur, en découpant l'intégrale on doit pouvoir trouver une formule plus maniable de l'image de
par
.
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Ouimet21
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par Ouimet21 » 12 Avr 2012, 14:06
girdav a écrit:Si on appelle
cet opérateur, en découpant l'intégrale on doit pouvoir trouver une formule plus maniable de l'image de
par
.
C'est ce que j'ai fait
L'opérateur est :
On peut l'écrire comme :
On cherche donc
presque partout et
tel que
C'est pas trop évident comment trouver les valeurs propres et les vecteurs propres...
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girdav
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par girdav » 12 Avr 2012, 18:56
On peut en déduire que
est dérivable puis résoudre une équation différentielle.
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Ouimet21
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par Ouimet21 » 12 Avr 2012, 20:38
girdav a écrit:On peut en déduire que
est dérivable puis résoudre une équation différentielle.
Je ne sais pas comment justifier la différentiabilité (
est à variation bornée, donc différentiable presque partout??)
Admettons alors que
est différentiable (pp), on tombe sur l'équation
Admettons maintenant que
est différentiable (pp), on tombe sur l'équation
Mais alors, il y a une solution générale à cette équation
(sauf 0)
Mais c'est impossible car l'opérateur est compact...les valeurs propres doivent tendrent vers 0.
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girdav
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par girdav » 12 Avr 2012, 21:29
Pour justifier la différentiabilité, on peut écrire que
comme une somme de deux intégrales d'une fonction intégrable, et les bornes de l'intégrale dépendant de
de manière non vicieuse.
est donc continue. Puis l'intégrale de 0 à x d'une fonction continue donne une fonction dérivables, etc...
Effectivement, il y a beaucoup de solution à l'équation différentielle obtenue, mais il ne faut pas oublier les conditions aux bord que l'on a laissé en route. Après, il faut voir pour quels
on a une solution non nulle.
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Ouimet21
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par Ouimet21 » 12 Avr 2012, 22:31
girdav a écrit:Pour justifier la différentiabilité, on peut écrire que
comme une somme de deux intégrales d'une fonction intégrable, et les bornes de l'intégrale dépendant de
de manière non vicieuse.
est donc continue. Puis l'intégrale de 0 à x d'une fonction continue donne une fonction dérivables, etc...
Effectivement, il y a beaucoup de solution à l'équation différentielle obtenue, mais il ne faut pas oublier les conditions aux bord que l'on a laissé en route. Après, il faut voir pour quels
on a une solution non nulle.
Mais les conditions aux bords dépendent de f...
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girdav
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par girdav » 12 Avr 2012, 22:52
Oui, il faudra vérifier, quand tu aura des solutions de la forme
ou
que celles-ci n'entraînent pas que
.
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Ouimet21
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par Ouimet21 » 12 Avr 2012, 23:09
girdav a écrit:Oui, il faudra vérifier, quand tu aura des solutions de la forme
ou
que celles-ci n'entraînent pas que
.
J'ai vérifier pour
avec les conditions plus haut, et je trouve que la seule valeur possible pour
positif est:
Or,
est une solution avec
Alors je crois qu'il y a un problème avec les conditions, il faut m'aider un peu plus, je sais pas comment résoudre ce genre de problème.
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Ouimet21
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par Ouimet21 » 12 Avr 2012, 23:33
Si je suppose
Je trouve que les valeurs propres possibles satisfont
Dans ce cas, il y a un infinité dénombrable de solutions, ce qui est bon signe
dans les deux cas, je ne suis pas capable d'exprimer les valeurs propres explicitement...
Alors je fais quoi???
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Ouimet21
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par Ouimet21 » 14 Avr 2012, 04:21
bump
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antonyme
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par antonyme » 14 Avr 2012, 06:04
Ouimet21 a écrit:bump
bump
bump
aïe
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geegee
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par geegee » 16 Avr 2012, 22:33
girdav a écrit:Si on appelle
cet opérateur, en découpant l'intégrale on doit pouvoir trouver une formule plus maniable de l'image de
par
.
Bonjour,
J'ai un opérateur de Hilbert-Schmidt défini de L2[0,1] dans L2[0,1] dont le noyau est la fonction:
max(x,y)
Cet opérateur est compact et auto-adjoint.
Je dois trouver toutes les valeurs propres et tous les vecteurs propres associés à cet opérateur.
Pour l'instant, j'ai trouvé que e^x est un vecteur propre pour la valeur propre 1.
Est-ce qu'il y a un truc pour trouver explicitement tout ce qui est demandé?
Bonjour,
http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node79.html
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Ouimet21
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par Ouimet21 » 16 Avr 2012, 23:02
geegee a écrit:Bonjour,
J'ai un opérateur de Hilbert-Schmidt défini de L2[0,1] dans L2[0,1] dont le noyau est la fonction:
max(x,y)
Cet opérateur est compact et auto-adjoint.
Je dois trouver toutes les valeurs propres et tous les vecteurs propres associés à cet opérateur.
Pour l'instant, j'ai trouvé que e^x est un vecteur propre pour la valeur propre 1.
Est-ce qu'il y a un truc pour trouver explicitement tout ce qui est demandé?
Bonjour,
http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node79.html
Pourquoi tu me link ca??
ca dit absolumment rien
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