Opérateur compact

[lisonn]

Bonjour,

Je bloque sur la démonstration de la propriété suivante :
Soit u un opérateur linéaire compact de E, alors Ker (I-u) est fermé de dimension finie.

Pour montrer que Ker(I-u) est de dim finie, on montre que la boule unité de Ker(I-u) est compacte. J'ai montré sans problèmes que Ker (I-u) était fermé mais à partir de là, comment conclure que la boule unité de Ker (I-u) est compacte? Faut-il dire que la boule est bornée, fermée donc compacte?

Autre question : les éléments de la boule unité de Ker (I-u) sont-ils bien les x dans E tels que u(x)=x et ||x|| <= 1 (on prend la norme sur E?)

[Arkhnor]

Bonjour.

Il faudrait peut être utiliser à un moment donné l'hypothèse sur l'opérateur, tu ne crois pas ? ...

Faut-il dire que la boule est bornée, fermée donc compacte?

Certainement pas, ce résultat n'est vrai que pour les espaces normés de dimension finie !

Autre question : les éléments de la boule unité de Ker (I-u) sont-ils bien les x dans E tels que u(x)=x et ||x|| <= 1 (on prend la norme sur E?)

Oui !

[lisonn]

En fait j'ai déjà utilisé les hypothèses de continuité et de compacité pour montrer que Ker (I-u) était fermé. Et je ne voyais pas comment les réutiliser pour montrer la compacité de la boule, cela dit, pour montrer que c'est compact, je dois montrer que de toute suite bornée (xn) de E, on peut extraire de Ker (I-u)(xn) une ss suite qui cv dans E. Mais puisque Ker (I-u) est fermé, j'ai l'impression qu'on porra tjs en extraire une ss suite qui converge....

[Arkhnor]

pour montrer que c'est compact, je dois montrer que de toute suite bornée (xn) de E, on peut extraire de Ker (I-u)(xn) une ss suite qui cv dans E.

Tu dois montrer que la boule unité fermée de Ker(I-u) est compacte. (édité)
C'est-à-dire que pour toute suite est une suite de Ker(I-u), telle que pour tout n, alors on peut extraire une sous-suite convergente.
J'ai l'impression que tu mélanges un peu la compacité de u, et la compacité de la boule unité.

Bref, si est dans ker(I-u), qu'est-ce que ça signifie ?
Comme u est compact, que peut-on en déduire ?

Mais puisque Ker (I-u) est fermé, j'ai l'impression qu'on porra tjs en extraire une ss suite qui converge....

Ce n'est pas parce qu'un ensemble est fermé, qu'on pourra toujours extraire une sous-suite convergente ...

[lisonn]

oui je mélange un peu tout, faut dire que c'est nouveau pour moi, je ne suis pas très à l'aise encore avec ces notions....

je dois montrer que la boule unitée de ker (i-u) est fermée mais si j'ai montré que ker (i-u) est fermé, la boule unitée y est forcément fermée non?

[Arkhnor]

En fait j'ai déjà utilisé les hypothèses de continuité et de compacité pour montrer que Ker (I-u) était fermé.

Pour montrer que Ker(I-u) est fermé, on n'a besoin que de la continuité.
C'est bien qu'il faut utiliser la compacité de u quelque part ailleurs ...

[Arkhnor]

je dois montrer que la boule unitée de ker (i-u) est fermée

Non ! On doit montrer qu'elle est compacte !!
J'ai dit dans mon message précédent ce que ça signifie : de toute suite de cette boule unité, on peut extraire une sous-suite convergente !

[Arkhnor]

OK, c'est de ma faute, j'ai fait une coquille dans mon message de 18h11. On doit montrer que la boule unité est compacte. Mea Culpa.

[lisonn]

Il faut montrer que la boule unité de ker (I-u) est compacte, ok.
Donc je prends (xn) une suite de Ker (i-u) telle que ||xn||<=1. Alors u(xn)=xn
u compact donc je peux extraire de (xn) une sous suite (xn') donc l'image converge dans E : (uxn') -> y (y dans E) et d'autre part u(xn')= xn'.....et là j'ai plus d'idées.....

[Arkhnor]

Bah tu as pratiquement terminé.
Tu as montré que de la suite on pouvait extraire une sous-suite convergente, de limite .
Comme la boule unité de ker(I-u) est fermée, appartient à cette boule.

Conclusion, toute suite de la boule unité fermée de ker(I-u) possède une sous-suite convergente.
La boule est compacte.

[lisonn]

Arkhnor, merci beaucoup!