Opérateur compact

[lisonn]

Bonsoir,

Soit E un espace de Banach de dim infinie et F un sev normé quelconque. Soit T un opérateur de E dans F pour lequel il existe a>0 tq pour tt x dans E, ||Tx||>= a||x||.
Je veux montrer que T n'est pas compact.

J'ai déjà la correction de cet exo mais j'étais partie différemment de la correction et je ne sais pas si ma preuve est juste.

J'ai supposé que T était compact, Alors T(B(0,1)) est relativement compact. Je prends (xn) une suite de E, ||xn||=1 et d'après les hypothèses, il existe a>0 tq ||T(xn)||>= a. Et donc on ne peut pas extraire de sous suite qui converge dans E (car sinon ce serait une suite de Cauchy qui tendrait vers 0).
Mon raisonnement est-il correct? J'ai aussi un problème pour le dernier passage : si un (suite extraite de T(xn)) était de Cauchy, elle tendrait vers 0 dans E, or la j'ai juste prouvé qu'on en pouvait pas extraire de sous suite qui convergeait dans F.....

[Doraki]

Et si on te donne une suite (xn) de B(0,1) dans E qui est constante ? A mon avis elle est convergente.

[lisonn]

En effet.....c'est bien ce que je pensais, elle peut converger dans E. D'ailleurs, je m'aperçois que j'aurais dû prendre ||xn||<=1 et du coup j'ai juste ||T(xn)||>= a||xn|| et je suis bloquée.....
Bon si quelqu'un peut m'aider à prouver que T n'est pas compact en passant par la propriété de compacité relative, ce serait sympa :happy2:

[Doraki]

Peut-être que si tu choisis une usite (xn) qui n'a pas de valeur d'adhérence, tu pourrais montrer que la suite (T(xn)) n'a pas non plus de valeur d'adhérence.

(ou que pour toute suite (xn), si T(xn) est convergente alors (xn) aussi)

[lisonn]

Je crois que j'avais mal saisi la définition de relativement compact, Si T(B) (l'image de la boule unité fermée de E) est relativement compact dans F, alors de toute suite de points de T(B), on peut extraire une sous suite qui converge dans F.
Donc si je veux montrer que T n'est pas compact, il faut que je montre qu'on ne peut pas extraire de T(xn) une sous suite qui converge dans F.
Ca ne m'avance pas tellement...
Du coup, Doraki, ca ne marche plus ce que tu me dit si? Sinon j'ai encore pas bien compris ce qu'était la compacité relative....

[Doraki]

Oui c'est ça.
Je t'ai proposé de montré que pour toute suite (xn) d'éléments de E,
(T(xn)) a une valeur d'adhérence dans F => (xn) a une valeur d'adhérence dans E.

(ça équivaut à dire que pour toute partie X de E,
si f(X) est relativement compact, alors X est relativement compact)

Donc si tu trouves une suite bornée (xn) qui n'a pas de valeur d'adhérence dans E (et normalement tu peux vu que E est de dimension infinie), tu obtiens une suite bornée (T(xn)) qui n'a pas de valeur d'adhérence dans F.
Cette dernière suite contredit bien la compacité de T.