[L1] Noyau et Image en fonction d'un paramètre

[Alexoce]

Hello !

Les examens approchent (en fait c'est demain) donc je regarde un peu les anciens sujets et il y a un exercice qui revient sans cesse mais impossible de trouver une corrections de ce genre d'exo sur internet (pourtant ça a l'air d'être un exo classique) et il donne quand même pas mal de points.

Voilà l'énoncé: https://www.noelshack.com/2022-19-1-165 ... omaths.png

L'exo en lui-même n'a rien de compliqué, mais ce paramètre a m'embête pas mal...
J'ai commencé par tout mettre sous forme d'un système égal à 0 pour trouver Ker(f), puis j'ai exprimé y en fonction de z, w et a, puis x en fonction de z,w ,a (en me servant de l'expression de y)

au final je me retrouve avec un Ker(f)=Vect{(3a+2, -a, 1, 0);(3a+1, -a, 0, 1)} sauf que du coup je me retrouve avec une famille libre peu importe la valeur de a avec dim(Kerf) = 2, dim(imf)=1 (théorème du rang), sauf que dans l'énoncé c'est sous-entendu qu'il y a des valeurs particulières de a où le résultat change (en tout cas je l'ai compris comme ça) donc ça me paraît étrange comme réponse.

Pour la question (d) j'imagine qu'il faut faire un système où les lignes valent 1, 0 et 0, mais faut-il faire autre chose ? je ne comprends pas trop ce qu'une équation paramétrique vient faire là-dedans :hap:

Merci à ceux qui prendront le temps de regarder !

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Échelonner la matrice de suivant les colonnes permet de réponde à peu près immédiatement aux trois premières questions.

[Alexoce]

Bonjour, merci pour votre réponse!

Je ne suis pas hyper à l'aise avec l'échelonnage des matrices non-carrées, mais j'ai trouvé ça:

|1 3 -2 -1 |
|0 5 -5 -5 |
|0 0 5a+5 5a+5 | (je ne sais pas si je devais faire une ligne entière de 0)

Mais je ne vois pas trop comment en déduire quelque chose avec les noyaux..

J'ai envie de dire que z=-w (en résolvant (5a+5)z+(5a+5)w=0)
ensuite avec la 2e ligne on trouve que y=0
et avec la première ligne x=-w

Ainsi (-1, 0, -1, 1) serait une base du noyau. mais au final le paramètre a a disparu donc j'ai l'impression d'être passé à côté de la question

[chombier]

Tu as du passer par cette étape :
|1 3 -2 -1 |
|0 5 -5 -5 |
|0 1 a a |
Tu te serait simplifié la vie en faisant d'abors l'opération suivante : L2 <- 1/5 L2
|1 3 -2 -1 |
|0 1 -1 -1 |
|0 1 a a |
Puis L3 <- L3-L2
|1 3 -2 -1 |
|0 1 -1 -1 |
|0 0 a-1 a-1 |
Enfin, L1<-L1-3L2
(à continuer)
Puis discuter selon la valeur de a
(à continuer)

[GaBuZoMeu]

Je t'ai suggéré d'échelonner suivant les colonnes, tu as échelonné suivant les lignes ...

P.S. Le calcul de chombier n'est pas correct.

[Alexoce]

Désolé je n'arrive pas à échelonner par colonne... on a vu uniquement par ligne en TD et ça me parait tellement naturel maintenant que j'ai beau réfléchir je ne vois pas comment faire en colonne (j'ai honte de galérer sur un truc pareil)

J'ai refait aussi le calcul en prenant le conseil de chombier mais j'arrive au même mur..

[GaBuZoMeu]

Échelonner suivant les colonnes, c'est comme pour les lignes sauf qu'on fait des opérations élémentaires sur les colonnes. On conserve l'image, qui est l'espace vectoriel engendré par les colonnes.

[chombier]

Je t'ai suggéré d'échelonner suivant les colonnes, tu as échelonné suivant les lignes ...

P.S. Le calcul de chombier n'est pas correct.

C'est vrai que j'ai échelonné par les lignes, ce qui n'est pas forcément le plus judicieux, et que j'ai fait des erreurs de calcul.
Après correction (et aide de sagemaths) je trouve ceci :
|1 0 0 1 |
|0 1 0 0 |
|0 0 a+1 a+1 |

Cela permet quand même de faire la question 1.

Si a<>-1, la matrice est de rang 3, le noyau est est de dimension 1, l'image est de dimension 3.
ker(A) = {(x,y,z,w) in R^4, x+w=0 et y=0 et z+w=0 }
ker(A) = Vect((1, 0, 1, -1))

Si a=-1, la matrice est de rang 2, le noyau est est de dimension 2, l'image est de dimension 2.
ker(A) = Vect((1, 0, 1, -1), (0, 0, 1, 0))

[Alexoce]

Merci beaucoup pour vos réponses!

J'ai compris les raisonnements à avoir ça me rassure.

J'ai réussi à trouver une base pour Im(f)

Si a=-1 v3 et v4 (extraits de la matrice) peuvent être retirés donc Im(f)=Vect{(v1),(v2)}
Si a=/=-1, alors on peut juste dire que v1+v3=v4 donc on retire v4 Im(f)=Vect{(v1),(v2),(v3)}
Et tout ça respecte les dimensions précédemment trouvées.

Pour la dernière question, je ne sais pas trop comment résoudre le système.. on a finalement le système suivant:

x+w=1
y=0
2z+2w=0

en le résolvant on trouve x=-w y=0 et z=-w
Sauf qu'en prenant par exemple w=1, la première équation est juste mais pas la seconde