Noyau espace vectoriel

par **sensor** » 29 Mar 2007, 20:00

Bonsoir.
J'ai des difficultés sur un exercice sur les espaces vectoriels dont voici l'énoncé:

Soit f une application qui va de R^4 dans R^3, qui à (x,y,z,t) associe (X,Y,Z) avec : X=2x+y-z+t, Y=3x-y+2z-3t,Z=x-2y+3z-4t.
Déterminer Ker f, Im f, un supplémentaire de Ker f et un supplémentaire de Im f.

Pour Ker f je pense avoir une piste: il s'agirait de résoudre le système avec X=0, Y=0 et Z=0.

C'est cela ? et merci de m'aider pour les autres.

par **Blueberry** » 29 Mar 2007, 20:21

Bonsoir

oui, il faut résoudre le système que tu dis, ainsi tu auras une base de Kerf que tu compléteras en une base de R^4. Avec les images par f des vecteurs qui ont servi à compléter , tu obtiendras une base de l'image de f.

par **sensor** » 29 Mar 2007, 20:28

pour la résolution du système je peux fixer t=0 ou il y a une autre méthode à préférer car on a 3 èquations à 4 inconnues ???

par **Blueberry** » 29 Mar 2007, 20:32

Non, tu triangularise ton système ce qui te permettras de passer un certain nombres d'inconnues dans le second membre. Ces inconnues variables te permettront de parametrer l'ensemble de tes solutions

par **sensor** » 29 Mar 2007, 20:38

je n'ai pas vu le mot triangulariser (on n'a pas encore vu les matrices).
JE SUPpose que je dois par ex exprimer t en fonction de x, y et z et dans les autres éuqations remplacer t par sa composée de x y et z

par **Blueberry** » 29 Mar 2007, 20:54

En éliminant à chaque fois une inconnue

tu obtiens me semble-t-il :

y = 0
- 7z + 9t = 0
x +3z -4t = 0

équivalent à (je rejète t ds le secon membre)

y = 0
- 7z = -9t
x +3z = 4t

Tu peux alors exprimer x, y et z en fonction de t qui sera un paramètre

par **sensor** » 29 Mar 2007, 21:14

je ne vois pas la méthode utilisée

par **Blueberry** » 29 Mar 2007, 21:16

Mais tu ne sais pas résoudre un système ayant une infinité de solutions ?

par **sensor** » 29 Mar 2007, 21:21

si mais je n'arrive pas à y=0.
Par exemple ce que j'ai essayé de faire c'est la première équation mois la deuxième ce qui me donne 5x+y-z+t=0 puis de faire des combinaisons avec cette équation mais c'est bizarre je ne trouve pas.

par **Blueberry** » 29 Mar 2007, 21:29

la 1ère - la deuxième cela ne donne pas 5x !

par **sensor** » 29 Mar 2007, 21:31

pardon la première + la deuxième.
T'as fait quoi comme opération ?

par **Blueberry** » 29 Mar 2007, 21:34

1ère + 2ème cela fait : 5x +z -2t = 0

par **sensor** » 29 Mar 2007, 21:37

c'est ce que j'ai trouvé mais je n'arrive pas à élimier les inconnues.

par **Blueberry** » 29 Mar 2007, 21:51

Là je cale !

Il faudrait que tu apprennes au moins à résoudre un système avant de pouvoir aborder la suite.
Ne me dis pas que tu n'arrives pasà éliminer les inconnues c'est du niveau terminale!

par **sensor** » 29 Mar 2007, 21:55

on n'en a presque pas fait en terminale car notre lycée à été fermée pendant trois semaines lors de blocage (pour la petite histoire) c'est pour ça que je galère un peu

par **sensor** » 29 Mar 2007, 22:06

tu peux me dire comment il faut résoudre s'li te plait

par **Blueberry** » 29 Mar 2007, 22:19

2x + y - z +t = 0
3x - y + 2z - 3t = 0
x - y + 3z -4t = 0

3y -7 z +9t = 0
2y - 7z + 9t = 0
x - y + 3z -4t = 0

y = 0
2y - 7z + 9t = 0
x - y + 3z -4t = 0

y = 0
7z + 9t = 0
x + 3z -4t = 0

y = 0
7z = - 9t
x + 3z =4t

y = 0
z = - 9/7t
x =4t +27/7t

par **sensor** » 30 Mar 2007, 04:26

Merci Blueberry

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