Nouvelle question cours matrice

[Abilys38]

Bonjour, j'ai une nouvelle question concernant mon cours sur les matrices.
Je n'arrive pas à comprendre la démonstration, que je ne pense pourtant pas compliqué....

Serait il possible de m'expliquer ou de me le faire comprendre par quelques questions intermédiaires?

La voici:

[zygomatique]

salut

le rang d'une matrice est la dimension de l'image de l'endomorphisme u représenté par A

si la dimension de l'image est la dimension de l'espace d'arrivée alors l'endomorphisme est surjectif donc bijectif puisqu'on est en dimension finie

...

[Abilys38]

Pourquoi le choix d'un endomorphisme de M_n,1 vers M_n,1.
En fait je n'ai pas bien cerné qu'elle est cette fameuse application u? Ni pourquoi ils parlent de base canonique...

Par contre je comprend très bien le reste de ton message concernant un endomorphisme surjectif et donc bijectif, puis donc inversible.

[capitaine nuggets]

Salut !

En fait, cela te dit que si tu as une matrice à coefficients dans un corps alors : cette matrice est de rang maximal si et seulement si elle est inversible.

[Abilys38]

Salut,

Oui j'ai compris l'intérêt de la propriété.
Çe que je n'ai pas compris, c'est quel endomorphisme ils utilisent pour la démontrer. C'est la première fois du chapitre qu'ils parlent d'un endomorphisme de M n,1 vers M n,1. Et je n'ai pas compris non plus le passagé sur les bases canoniques.

[jlb]

Comment écris-tu à le fait que l'image d'un vecteur u est v par l'endomorphisme f? f(u)=v, on est d'accord
Traduis cela en terme de matrices pour u,v et f : où vivent les matrices représentant u,v et f? cela devrait t'expliquer les Mn,1(K), Mn(K).
Après tu particularises tes vecteurs u en prenant les vecteurs de la base canonique (e_i) alors pour f(e_i) =v_i , tu regardes en terme de matrices cette égalité et tu risques de comprendre que la matrice représentant v_i à quelque chose à voir avec A et vit dans Mn,1(K).
Je ne sais pas si cela t'a aidé? Bonne journée.

[Abilys38]

Je suis désolé mais je n'ai pas tres bien compris ou tu veux en venir

Il me semble juste avoir compris que l'utilisation de Mn,1 K est pour parler des matrices qui représentent des vecteurs.

[Ben314]

Salut,
Une matrice, c'est juste un "tableau de nombres" et, pour faire des raisonnement en partant d'une matrice, on a évidement intérêt à voir ce "tableau de nombres" comme quelque chose de "plus mathématique".
Évidement, ce truc "plus mathématique", c'est une application linéaire : si tu as deux espaces vectoriels E et F de dim respectives n et m ainsi que deux bases B et C de E et F alors il y a bijection entre l'ensemble des matrices mxn et l'ensemble des applications linéaires de E dans F via les matrices associées dans les bases B et C.

Donc lorsque tu es face à une matrice nxn sans aucun contexte supplémentaire, pour l'interpréter en temps qu'endomorphisme, ben il faut que tu "invente" un e.v. E de dim n et une base B de E. Comme toujours dans un cas pareil (où on doit "inventer" des trucs), on fait au plus simple et à peu prés tout le monde prend E=K^n, (i.e. l'ensemble des n-uplets d'éléments de K) et la base canonique de K^n.
Là, pour faire "plus finassous", le bouquin prend E=M_{n,1}(K), c'est à dire les vecteurs colonnes de n de haut à coeff dans K. Évidement, c'est aussi un e.v. de dim n et c'est "à un poil de cul prés" la même chose que K^n : la seule mini différence, c'est que normalement les éléments de K^n, on les écrit plutôt comme des vecteurs lignes et en mettant des virgules (ou point virgules) entre les éléments (style un élément de R², ça s'écrit plutôt (x,y) (*)) alors que ceux e M_{n,1}(K), ben par définition, c'est des vecteurs colonnes.
L'intérêt du schmilblick (d'avoir pris E=M_{n,1}(K) ), c'est évidement de pouvoir directement écrire que l'application linéaire f associée à la matrice, c'est simplement X->AX : comme X est un vecteur colonne on peut calculer le produit de A par X directement.
Alors que si on avait pris comme espace E un autre e.v., il aurait fallu écrire que, partant d'un x (petit x) de E, on commence par écrire en colonne ces coordonnées X dans la base B choisie, puis on calcule le produit matriciel Y=AX et que le vecteur colonne Y obtenu donne les coordonnées de y=f(x) (petit y) dans la base de F choisie.
Au niveau des calculs que l'on va faire, ça ne change évidement absolument strictement rien du tout, mais au niveau de "l'enrobage", de prendre E=M_{n,1}(K), ça simplifie vu qu'il y a plus du tout besoin de parler de "coordonnées en colonnes de x dans la base B" vu que ces "coordonnées", ben c'est x lui même.

(*) Encore que, justement, dans ce contexte là, ça peut être malin de dire que les éléments de K^n, tu les écrit plutôt comme des vecteurs colonne.

[Abilys38]

Pour faire + simple, je me base sur ton message pour répondre.

Salut,
Une matrice, c'est juste un "tableau de nombres" et, pour faire des raisonnement en partant d'une matrice, on a évidement intérêt à voir ce "tableau de nombres" comme quelque chose de "plus mathématique". Ok


Évidement, ce truc "plus mathématique", c'est une application linéaire : si tu as deux espaces vectoriels E et F de dim respectives n et m ainsi que deux bases B et C de E et F alors il y a bijection entre l'ensemble des matrices mxn et l'ensemble des applications linéaires de E dans F via les matrices associées dans les bases B et C. Ok


Donc lorsque tu es face à une matrice nxn sans aucun contexte supplémentaire, pour l'interpréter en temps qu'endomorphisme, (pourquoi interpréter une matrice comme un endomorphisme? Une matrice, c'est bien le résultat de l'application linéaire "Mat", non? Ce n'est pas une application en soit?

ben il faut que tu "invente" un e.v. E de dim n et une base B de E.

Comme toujours dans un cas pareil (où on doit "inventer" des trucs), on fait au plus simple et à peu prés tout le monde prend E=K^n, (i.e. l'ensemble des n-uplets d'éléments de K) et la base canonique de K^n. Ok la on cherche juste un ev de dimension n (même si on aurait pu bêtement garder E?)

Là, pour faire "plus finassous", le bouquin prend E=M_{n,1}(K), c'est à dire les vecteurs colonnes de n de haut à coeff dans K. Évidement, c'est aussi un e.v. de dim n et c'est "à un poil de cul prés" la même chose que K^n : la seule mini différence, c'est que normalement les éléments de K^n, on les écrit plutôt comme des vecteurs lignes et en mettant des virgules (ou point virgules) entre les éléments (style un élément de R², ça s'écrit plutôt (x,y) (*)) alors que ceux e M_{n,1}(K), ben par définition, c'est des vecteurs colonnes.
L'intérêt du schmilblick (d'avoir pris E=M_{n,1}(K) ), c'est évidement de pouvoir directement écrire que l'application linéaire f associée à la matrice, c'est simplement X->AX : comme X est un vecteur colonne on peut calculer le produit de A par X directement.
Alors que si on avait pris comme espace E un autre e.v., il aurait fallu écrire que, partant d'un x (petit x) de E, on commence par écrire en colonne ces coordonnées X dans la base B choisie, puis on calcule le produit matriciel Y=AX et que le vecteur colonne Y obtenu donne les coordonnées de y=f(x) (petit y) dans la base de F choisie. (Pour faire Ca, il aurait donc fallu deux applications? Une qui dabord transforme le y de E en une matrice Collonne, puis une deuxième qui transforme cette matrice Collone X en produit matriciel AX ?


Au niveau des calculs que l'on va faire, ça ne change évidement absolument strictement rien du tout, mais au niveau de "l'enrobage", de prendre E=M_{n,1}(K), ça simplifie vu qu'il y a plus du tout besoin de parler de "coordonnées en colonnes de x dans la base B" vu que ces "coordonnées", ben c'est x lui même.

(*) Encore que, justement, dans ce contexte là, ça peut être malin de dire que les éléments de K^n, tu les écrit plutôt comme des vecteurs colonne.

Et finalement, si j'ai bien compris ce que tu m'as dis avant, quel est le lien avec le théorème qu'on veut démontrer?

Désolé je sais que je suis dur d'oreille, mais c'est important pour moi de bien comprendre les démonstrations...

[Ben314]

pourquoi interpréter une matrice comme un endomorphisme? Une matrice, c'est bien le résultat de l'application linéaire "Mat", non? Ce n'est pas une application en soit ?

Non, une matrice c'est un tableau de nombres et c'est tout.
Si tu parle de l'application qui à un endomorphisme d'un e.v. muni d'une base associe la matrice de dans la base alors une matrice, c'est le résultat de cette application lorsqu'on l'applique à un endomorphisme .
Donc c'est la même chose que le réel qu'on obtient lorsque l'on applique une certaine application (de R dans R) à un réel donné et tu ne risque pas de confondre (où d'identifier) ce réel avec la fonction . Si F c'est la fonction x->x², alors 25=F(5) mais évidement c'est clairement du grand n'importe quoi d'écrire que 25=F.
Pour revenir à nos moutons, ce qui est correct, c'est qu'une matrice , elle est effectivement égale à un certain pour un certain endomorphisme , mais elle n'est absolument pas du tout du tout égale à l'application .
Bref, connaissant un tableau de nombres , ce qu'on cherche, c'est un tel que , sauf que pour pouvoir parler de la fonction , ben il faudrait déjà avoir à sa disposition un e.v. de dim ainsi qu'une base de alors que l'énoncé ne nous donne rien de tout ça : le seul truc de départ qu'on a, c'est le tableau de nombres M.
Donc (bis et répéta...) LE premier truc à faire, c'est d'inventer un et une base pour avoir le droit de parler de l'application

...même si on aurait pu bêtement garder E ?

Comment veut tu "garder" un truc... qui n'existe pas...
(Re)Lit correctement l'unique phrase qui constitue cette "Proposition 3" et dit moi à quel endroit tu voit apparaitre la lettre dans cet énoncé.
Moi, je la voie nulle part, la seule chose dont parle l'énoncé, c'est du tableau de nombre (= matrice) A et donc si tu veut pouvoir parler de l'endomorphisme de E associé à la matrice A ben faut que tu "invente" un E.
Là, celui qu'ils "inventent", c'est mais on pourrait prendre n'importe quel e.v. E de dimension n muni de n'importe quelle base B (n'empêche qu'il faut forcément écrire que tu en choisi un, quitte à dire... que tu prend n'importe lequel....)

Pour faire Ca, il aurait donc fallu deux applications? Une qui dabord transforme le y de E en une matrice Collonne, puis une deuxième qui transforme cette matrice Collone X en produit matriciel AX ?

Oui, plus ou moins, mais perso, j'aurais de nouveau dit que, pour faire le "lien" matrice <-> endomorphisme, ce qu'il te faut, c'est un e.v. E de dim n et une base de E, c'est à dire que j'aurais insisté sur le fait que ce que tu désigne par "l'application qui transforme y en une matrice colonne", c'est celle qui à un vecteur associe ces coordonnées dans une base B (donc qu'il faut avoir à sa disposition une base B de E).
Partant d'un vecteur x de E, la base B te permet de le "transformer" en un vecteur colonne X, c'est à dire une matrice nx1 (constituée des coordonnées de x dans la base B). Ensuite, tu peut effectuer le produit matriciel Y=AX qui te donne un nouveau vecteur colonne Y. Enfin, ce vecteur colonne Y, tu dit que c'est les coordonnées dans la base B d'un certain vecteur y de E et que ce y, en fait, c'est f(x).
Intuitivement parlant, très souvent, on confond complètement le vecteur x de E avec ces coordonnées dans la base B (=tableau de nombres) et, tant qu'on utilise une seule base B sur E, ce n'est absolument pas gênant. Le problème, c'est qu'assez rapidement, tu va regarder ce qu'il se passe lorsque l'on a (au moins) deux bases B et B' du même espace E et que, dans ce cas, au même vecteur x de E, tu va pouvoir associer DEUX tableuax de nombres X et X' différents, à savoir les coordonnées de x dans B et celle du même x dans B'.
Là, bien sûr il faudra clairement différentier le "vecteur théorique" x des "tableaux de nombres" X et X'.

Et finalement, si j'ai bien compris ce que tu m'as dis avant, quel est le lien avec le théorème qu'on veut démontrer ?

Le "lien", c'est ce que je raconte dans le début de l'autre post : pour "faire des maths" avec les matrices qui sont des tableaux de nombres et rien d'autre, il faut les voir comme des matrices d'applications linéaires et donc il faut avoir un espace vectoriel E (et éventuellement un autre F si la matrice n'est pas carré) ainsi qu'une base B de E (et éventuellement C de F) pour pouvoir utiliser la "passerelle" Matrice <-> Application linéaires.
Dans certain Théorèmes/Exercice, l'espace E et la base B sont donnés et dans d'autres seule la matrice A est donnée. Dans ce dernier cas, il faut "inventer" le E et la base B pour pouvoir utiliser la "passerelle".
(et tu verra plus tard certains exercices où le choix le plus malin pour E et B, ce n'est pas de prendre K^n, mais un truc plus subtil, comme par exemple l'e.v. des polynômes de degré <=n-1)

[Abilys38]

Ok merci beaucoup.
Je crois que mon "déclic" vient de ton information sur la façon dont on a créé l'application "Mat" ici. Et le fait que la démonstration en parle pas à rendu la compréhension difficile pour moi. Mais du coup, voilà comment je démontrerais le théorème maintenant (peux tu me confirmer?)

On sait que f est un endomorphisme de Mn,1 K -----> Mn,1 K
On sait que si rg(f) = n, f est bijective car l'ensemble de départ est de dimension n.
Or, rg(A) = rg(f), donc si rg(A) = n, f est bijective, et donc inversible. Par suite:

Mat est une application linéaire donc Mat(f f-1) = A mat(f-1) = In. Puis mat(f-1) est l'inverse de A.

[Ben314]

On sait que f est un endomorphisme de Mn,1 K -----> Mn,1 K
On sait que si rg(f) = n, f est bijective car l'ensemble de départ est de dimension n.
Or, rg(A) = rg(f), donc si rg(A) = n, f est bijective, et donc inversible. Par suite:

Mat est une application linéaire donc Mat(f f-1) = A mat(f-1) = In. Puis mat(f-1) est l'inverse de A.

C'est pas forcément super bien écrit, mais on va dire que c'est à peu prés ça modulo deux trucs :

1) le "car l'espace de départ est de dimension n" me semble (fortement) mal dit : si f est bijective, c'est parce que les espaces de départ et d'arrivée sont de même dimension et qu'elle est surjective (car son rang est égal à la dimension de l'espace d'arrivé)

2) Le "Mat est une application linéaire" n'est pas suffisant pour justifier ce que tu as écrit vu que "Mat est une application linéaire" ça signifie juste dire que Mat(f + g)=Mat(f)+Mat(g) et que Mat(lambda.f)=lambda.Mat(f).
Alors que ce que tu utilise, c'est que Mat(f o g)=Mat(f)xMat(g) (i.e. de composer des applications linéaire, ça correspond à faire le produit des matrices correspondantes).
Et je pense pas que tu ait vu le mot correspondant à cette propriété là : en fait ça signifie l'application Mat est non seulement une application linéaire, mais que c'est aussi un morphisme d'algèbre.

Sinon, si tu veut mon avis, pour mieux comprendre tout ces trucs, je pense que tu devrait faire plus d'exercices (variés) concernant ces notions pour mieux comprendre dans la pratique toutes ces "passerelles" style
Vecteur (théorique) <-> Matrice colonne (ou autre) des coordonnées
Application linéaire <-> Matrice
etc...
En particulier pour bien voir que, dans les exos., c'est un peu comme un dictionnaire Français/Anglais avec d'un coté le "point de vue théorique" (= Vecteurs, Bases, Applications linéaires, etc...) et d'un autre coté le "point de vue calculatoire" (= tableaux de nombres) et qu'on passe en permanence de l'un à l'autre.

[Abilys38]

Tes deux rappels m'ont vraiment fait du bien !! Notamment le deuxième concernant le morphisme d'algèbre. Je ne connaissais pas cette "subtilité". D'ailleurs, je dois vérifier sur le livre s'ils parlent de cette définition...

Sinon, j'ai commencé il ya tres peu de temps çe chapitre donc il est clair que je suis pas encore à l'aise. D'autant + que, (et je pense que c'est une chance), jai démarre le chapitre directement avec la vraie définition d'une matrice (lien avec application linéaire et espaces vectoriels), mais cela rend le temps de compréhension plus long je pense....
Si tu as une idee d'exercices types intéressants sur un livre ou un site, n'hésite pas à me faire savoir, ça serait avec plaisir !! Pour le moment j'ai vu que du cours et tres peu d'exercices, mais je me sens pas encore à l'aise avec les notions du type "matrice qui représente l'application f sur la base ....."

Merci encore

[Ben314]

La propriétés Mat(f o g)=Mat(f)xMat(g), ça tu l'a obligatoirement vu que c'est en fait elle qui explique (voire même qui défini) le produit matriciel.
Par contre le terme "morphisme d'algèbre", c'est pas sûr du tout vu que ça conduirait inévitablement l'étudiant à demander "c'est quoi un morphisme ?" et "c'est quoi une algèbre ?" et qu'à mon avis, il vaut mieux parler de tout ça une fois le chapitre sur les espaces vectoriel pas trop mal assimilé (une algèbre c'est un espace vectoriel, donc avec addition et multiplication par des scalaires avec en plus une notion de multiplication, comme par exemple... l'espace des matrices carrées...)

Sinon, concernant les exos d'algèbre linéaire, tu en trouve à la pelle de à la pelle partout sur le net, par exemple sur "exo7" ou d'autres sites au départ plus ou moins universitaires ou "prépa".
Sur cette page là :
http://exo7.emath.fr/un.html
Tu as toute la partie "Algèbre linéaire avec vidéos" (cours, mais aussi exercices) qui doit pas être trop mal : j'ai pas regardé, mais c'est un site sur lequel j'ai déjà pioché pas mal de trucs et que j'ai trouvé assez bien "fourni" en exercices. (mais il y a des tas d'autres cites dont surement d'autres très bien)

[Abilys38]

Je connaissais les morphisme sur, les algebres mais pas les morphisme d'algèbre. Mais content de connaître ce terme !! Sinon oui je connais les grands sites mais c'est vrai qu'il y a toujours des exos 1000x plus intéressants que d'autres, mais que c'est pas évident pour un étudiant de faire les bons choix d'exercices.

Merci encore car tes réponses m'ont bien fait avancé sur le chapitre des matrices !!