Nouveau déterminant avec paramétre

[novicemaths]

Bonsoir

Voici un nouveau déterminant avec paramètre



Voici mes calculs.



A chaque fois que j'ai ce genre d'exercice, j'ignore quel tactique employé exactement.

Pourriez-vous me dire pars quel ligne ou colonne commencer?

A bientôt

[Vassillia]

Bonjour novicemaths, il y a pas de règle absolue pour savoir par quelle ligne ou colonne commencer.
Par contre, la plupart du temps le pivot de Gauss n'est pas un mauvais choix, le connais-tu ?
Pour vérifier ton résultat de manière autonome https://www.dcode.fr/determinant-matrice

[azf]

Bonjour

C'est écrit petit mais je crois qu'il y a une erreur
la dernière matrice j'ai lu



si je fais un zoom ça floute encore plus

[hdci]

Bonjour,
dans le cas du déterminant 3x3, il y a une technique plus rapide : le produit des diagonales descendantes, MOINS le produit des diagonales montantes. Il y a 3 diagonales à chaque fois (en poursuivant "de l'autre côté")
Ainsi : la première diagonale descendante est la princpale (on rencontre a, a puis a)
La seconde diagonale descendante commence sur le 1 à droite du a première ligne, on descend sur le 1 suivant, puis comme on est au bout on descend en repartant sur la première colonne
La trosième diagonale descendante commence avec le 1 en haut à droite et comme on et au bout, on reprend sur le 1 seconde ligne à gauche et on poursuit en descendant.

Pareil pour les diagonales montantes.

Donc ici cela donne


On peut factoriser facilement car il y a une racine évidente.

[novicemaths]

Merci !
Oui, je connais pivot de Gauss, je vais recommencer.

D'abord ligne et après colonne.

j'ai fait en sorte d'écrire en grand azf .

hdci, je connais la règle de sarrus.

[azf]

en aparté : Merci HDCI je ne connaissais pas la règle de Sarrus

[novicemaths]

J'ai utilisé le pivot de Gauss.

J'ai des coûtes sur les calculs.




A bientôt

[Vassillia]

Euh oui mais non, il faut multiplier la ligne ou colonne par le bon coefficient pour qu'en soustrayant, on fasse apparaitre des 0 sinon ça n'avance pas cette histoire.
Il y a la méthode de hdci bien sur (qu'on appelle effectivement règle de Sarrus) et j'avoue que c'est peut-être celle que j'aurai utilisé ici mais comme elle n'est valable que pour des matrices 3x3 je vais quand même le proposer dans le cas général. Autre intérêt, la méthode générale permet d'avoir directement une forme factorisée au moins en partie.

1er étape L1 devient L1-aL3 et L2 devient L2-L3
2eme étape L1 devient L1+L2

J'ai un peu triché en utilisant la dernière ligne pour le pivot de Gauss, à la fin, il faudra inverser 2 colonnes autrement dit multiplier le déterminant par -1 car une fois qu'on a une matrice triangulaire c'est gagné, le determinant est le produit des coefficients diagonaux

[novicemaths]

Bonsoir

Merci Vassillia, dans l'exercice, il faut trouver le déterminant sous forme factorisée.

Est-ce que 1-a et a-1 c'est équivalent.

A bientôt

[Vassillia]

Bonjour Novicemaths, une forme factorisée est toujours de la forme "inconnu-valeur" donc a-1
Par contre comme je commence à te connaitre, attention cela ne veut pas dire qu'on peut remplacer 1-a par a-1, c'est clairement interdit.
Tu peux écrire (1-a)=-(a-1) si tu veux.
PS : si tu as un problème de signe, relis mon message précédent, j'avais anticipé ce type de problème.

[fatal_error]

hi novicemaths

si tu as des doutes, remplace a par une valeur facile (0, 1, 2...)
et compares le calcul du déterminant de part et d'autres de ton égalité

ca montrera pas que t'as juste, mais ca montrera facilement si t'as faux...

[novicemaths]

Bonjour

Il faut que je persévère, est-ce que la c'est correct ?



(a-+1) - (a-1)= 2

Sous forme factorisé, on (a+2)(a-1)

La matrice M est inversible

A bientôt

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Non, ça ne marche pas. Tu fais vraiment des erreurs de calcul grossières, et tu as l'air de procéder au petit bonheur la chance.
Si tu appliques une méthode de pivot pour calculer ce déterminant, fais-le de manière systématique !
Par exemple, en suivant l'indication de Vassilia.
Tu commences par choisir un pivot sur la première colonne pour faire apparaître des 0 partout ailleurs sur cette colonne. Ne pas prendre le paramètre a comme pivot, on ne sait pas s'il est nul ou non. On prend le 1 en bas à gauche.

par et .

Si on voit des trucs susceptibles d'être mis en facteur sur une ligne ou sur une colonne, on ne se prive pas ! On constate que est en facteur à la fois sur la deuxième ligne et sur la première (rappel : . Donc

.

Je te laisse continuer ?

[azf]

Bonjour

Vous demandez toujours si vos calculs sont exacts ou pas mais si on comprend ce que l'on fait alors cela signifie aussi que l'on sait comment vérifier si ce que l'on fait est exact
Vos calculs se perdent dans les méandres de la complexité et la plupart du temps sont faux
Pour savoir si 1+1=3 on effectue 3-1 et si c'est exact alors on doit trouver 1
Que ce soit des calcul simples ou des calculs avec des matrices c'est toujours pareil

[azf]

Autre chose encore

Vous savez écrire une matrice en Latex mais dans vos calculs ce ne sont pas des matrices écrites avec le code

Par fainéantise (désolé mais je suis gentil mais là ça devient saoulant) vous utilisez des images qui font de vos matrices des trucs illisibles (même en zoomant je n'arrive pas à les lire : elles sont floues)

Excusez moi je suis gentil (même ma frangine et mon chat le reconnaissent ) mais j'ai l'impression que vous vous fichez de vos lecteurs

en vous citant
[quote="novicemaths"]

vous avez donc écrit ceci

det(M_a)=\begin{vmatrix}
a&1 &1 \\
1& a &1 \\
1& 1 & a
\end{vmatrix}

du code!

mais on ne vous demande pas non plus d'écrire du code

si vous écrivez tout simplement ceci

a&1 &1 \\
1& a &1 \\
1& 1 & a

ça restera lisible (c'est comme ça qu'on faisait avant que le code tex existe)

[novicemaths]

Bonsoir

Et si on faisé L1+L2 ce la donnerais (2+a)

azf il faut cliquer sur l'image pour voir en grand, j'ai vérifié.


A bientôt

[Black Jack]

Pourquoi faire simple ... quand on peut faire compliqué ?

[lyceen95]

Tu cherches à calculer un déterminant.

Souvent, on a une autre question, et on veut savoir si le déterminant est nul ou non nul.
Quand on veut simplement savoir si le déterminant est nul, on peut tripatouiller la matrice, en additionnant des lignes, ou des colonnes... et des fois, avec un peu d'astuce, on trouve une solution rapide.

Quand on veut calculer le déterminant, comme c'est le cas ici, alors, on ne peut pas s'amuser à tripatouiller la matrice, en faisant des additions de lignes ou de colonnes.

Pour calculer un déterminant de matrice 3x3, il y a la technique de Black Jack. La technique que je connais, elle prend en compte les diagonales 'descendantes' d'une part, et les diagonales 'montantes' d'autre part.
Pour une matrice avec (a,b,c) en 1ère ligne, (d,e,f) en 2ème ligne, et (g,h,i) en 3ème ligne, les diagonales descendantes sont (a,e,i) bien entendu, puis (b,f,g) et (c,d,h) ...
Il faut voir la dispodition des 9 points sur la matrice... (b,f) est le début d'une diagonale descendante, et on la complète par le point g. pareil pour (d,h)+c
et on trouve aussi facilement les 3 diagonales montantes.

On calcule la somme des diagonales descendantes : aei+bfg+cdh
Pareil pour les diagonales montantes : ahf+bdi+cag

Et au final : Dét=(aei+bfg+cdh)-(ahf+bdi+cag)
La formule en question est impossible à mémoriser, mais si on se souvient du dessin, avec les diagonales montantes et descendantes, c'est très simple.

[novicemaths]

Bonjour

Merci Black Jack cette technique est pratique, mais le déterminant doit être factorisé.

A bientôt

[lyceen95]

On constate que si a vaut 1 , le déterminant est nul (on pouvait l'anticiper, parce que si a vaut 1, les 3 lignes de la matrices sont identiques !)
Donc on peut factoriser , avec
A toi de voir comment continuer la factorisation.

Oups ... merci mathelot, j'ai corrigé.