Notion de fonction inverse pour l'opérateur multilicatif

[Anonyme]

BOnjour à ceux qui viennent de se lever
et BOnsoir à ceux qui vont aller se coucher
sinon BOnne journée à tous les autres

Je crée ce sujet suite à plusieurs messages qui ont été écrits dans une discussion de MF
sur la notion de fonction inverse d'une fonction donnée , c'est à dire la fonction

1)
J'ai crée une nouvelle discussion pour ne pas polluer avec des HS , la discussion précédente qui est un exercice de maths qui traite un sujet sur la notion de fonction réciproque d'une fonction donnée

2)
Je me suis permis de recopier 2 messages écrits dans la discussion précédente sur le thème : fonction inverse afin de permettre de récapituler les infos sur ce sujet

Au lycée il est évident que inverse signifie inverse pour la multiplication......
.....Finalement si tu parles bien de l'inverse pour la multiplication il te suffit de justifier que 1/f existe c'est à dire que f ...

ptitnoir >
2) Concernant l'inverse (au sens de la multiplication) chez les fonctions, le fait d'en parler et de l'appeler ainsi vient du fait qu'il y a deux lois multiplicatives naturelles chez les fonctions qui sont la composition et la multiplication usuelle définie par : f*g est la fonction x->f(x)g(x).

Du coup, on peut parler d'inverse pour l'une autant que pour l'autre. C'est justement pour les distinguer qu'on parlera plutôt de réciproque pour la composition.

Cela dit, il arrivera quand même souvent de parler d'inverse chez les fonctions pour dire "réciproque" dans les cas où la composition est la seule loi multiplicative naturelle.

Par exemple, si on travaille avec des espaces vectoriels, la loi précédemment définie sur R^R par f*g est la fonction x->f(x)g(x) n'aurait plus de sens car on ne sait pas a priori ce que c'est que multiplier deux vecteurs entre eux.

De fait, dans un espace vectoriel, on ne fait que composer les fonctions entre elles si bien qu'il n'y a plus d'ambiguïté à parler d'inverse plutôt que de réciproque. On parlera donc de l'inverse d'une application linéaire ou d'une matrice.

3)
Voici certaines questions sur cette notion (car ne connaissant pas cette notion , je désirerais l'approfondir)

Je vais poser mes questions 1 par 1 pour éviter de faire un message de 10kms....
Je considère uniquement de fonctions réelles à une seule variable réelle ( pour ne pas compliquer dans un 1ier temps les questions )

Question n°1 :
Est ce que l'interprétation graphique de la multiplication de 2 fonctions et / ou de l'inverse d'une fonction a un sens ?

Exemple 1)
La fonction "carré" définie par peut s'écrire avec la fonction définie par
Donc au niveau interprétation graphique de la multiplication de 2 fonctions de IR sur IR
peut on dire que ? : "une droite" multipliée par une "droite" donne "une parabole"

Exemple 2)
La fonction linéaire définie par a une fonction inverse qui n'est pas définie en
Peut on dire que ? : La "courbe inverse" de la droite d'équation est donc l'hyperbole d'équation

[homeya]

Bonjour,

En réponse à la question 1, je dirais que la multiplication, la division et l'inverse de fonctions ont des interprétations graphiques puisqu'il est toujours possible de construire point à point les fonctions f.g, f/g et 1/g (dans ces deux derniers cas, pour les valeurs n'annulant pas g) à partir de la connaissance de f et g.
Par contre, on ne parle pas de "multiplication de courbes" ou "d'inverse de courbes".

Cordialement.

[Anonyme]

Merci pour ces explications donc en conclusion l'inverse d'une fonction f , c'est à dire 1/f , n'a aucune interprétation graphique "exploitable"

Quand je dis "exploitable" , je pense aux fonctions définies par une fonction f donnée comme les 2 fonctions définies ci dessous :
g(x)=f(x+k)
h(x)=f(x)+k

[homeya]

Concernant l'inverse de fonctions, je ne vois que le cas particulier de l'inversion complexe (1/z) qui est de temps en temps l'objet d’interprétations graphiques.

[Anonyme]

Concernant l'inverse de fonctions, je ne vois que le cas particulier de l'inversion complexe (1/z) qui est de temps en temps l'objet d’interprétations graphiques.

Tu veux parler des propriétés de la transformation du plan qui à un point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z'=1/z

et qui transforme une droite en un cercle (et réciproquement)

ps)
D'après mes souvenirs je crois que cette transformation s'appelle : une "inversion plane"

[homeya]

Oui, c'est cela.

[Nightmare]

La multiplication n'a pas de réelle interprétation graphique car f/g peut donner plus ou moins n'importe quoi en choisissant bien g.

[Anonyme]

Question n°2 :
Je comprends l'utilité d'une expression du type où et sont 2 fonctions
- par exemple pour calculer
- par exemple pour résoudre

mais j'ai du mal à saisir l'utilité de calculer la fonction inverse ?
car je n'ai aucune idée à quoi elle peut servir....

[homeya]

Ce n'est pas parce qu'une chose n'a pas d’utilité que l'on peut lui dénier le droit d'exister ! Boole a bien construit son algèbre un siècle avant que l'on ne lui trouve une application pratique. Et sans lui, nous ne serions pas ici à discuter ... ou peut être à l'aide de signaux de fumée :ptdr:

[Anonyme]

@homeya
Tu as raison

Voici un peut être un exemple où on peut de utiliser l'expression ??

si alors ("restriction" de u et de v sur I )

[Anonyme]

Question n°3 :
La notion de fonction inverse , permet d'avoir un Groupe multiplicatif sur l'ensemble des fonctions qui ne s'annulent pas

1) Est ce que cet ensemble a un nom ?

2) Comment note-t-on ce groupe multiplicatif dont l'élément neutre est la fonction définie par

[Anonyme]

@ptitnoir (ceci est une réponse de l'internaute ptitnoir qui se répond à lui même FAUTE de COMBATANTS)

Salut ptitnoir

Comment vas tu depuis les 5 dernières minutes ?

Concernant ta discussion sur la fonction inverse d'une fonction donnée , c'est plutôt "bof bof" car il n'y a rien à dire sinon que c'est inintéressant...

Tout le monde sait que la fonction inverse se note
et que c'est une fonction
eh pi sait tou

Il y a rien à dire sur ce sujet à part de ne pas confondre avec la fonction réciproque ( notés )
qui elle a pleins de propriétés....
eh pi sait tou

A+
:-)