Notaton de Landau

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RadarX
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Notaton de Landau

par RadarX » 20 Déc 2017, 01:50

Bonjour.
Je regarde en ce moment une forme ... "généralisée" des notations de Landau. Dans un vieil ouvrage qui est globalement assez rigoureux (Lelong-Ferrand et Arnaudiès Tome 2 Analyse 4ème édition), il y est introduit suivant l'énoncé:
Soit E un evn et .
Pour chaque fontionPhi définie sur un voisinage U de t0 et ne s'annulant pas sur U\{t0), nous désignons par O(Phi) l'ensemble des fonctions f à valeurs dans E, et définies sur des voisinages de t0 dans R, telles que le rapport soit borné dans un voisinage de ce point t0.

Ce qui me gène c'est qu'il y soit considéré comme suffisant que ne s'annule pas sur U\{t0) et qui pose par la suite le problème de la définition du rapport précisément en t0 même. Je m'attendais plutôt à l’hypothèse ne s'annulant pas sur U.
Cela pourrait être une erreur du livre. Mais comme c'est un ouvrage assez rigoureux et une 4ème édition en plus.... peut-être que n'aurais-je pas juste saisi un détail!!

Merci d'avance pour toute contribution.
R.
Modifié en dernier par RadarX le 22 Jan 2018, 01:01, modifié 2 fois.



Pseuda
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Re: Notaton de Landau

par Pseuda » 20 Déc 2017, 09:08

Bonjour,

Cela me paraît correct : dans cette définition, la notation O s'applique à un voisinage épointé de t0, (tout comme la définition de o où on s'intéresse à la limite en t0, quant t->t0, t<>t0). La réponse m'intéresse aussi.

Mais que cela soit considéré comme nécessaire me parait plus compliqué (mais moins pratique) qu'avec cette définition de f=O(g) en t0 : "Il existe K>0 et un voisinage de t0 tels que, quelque soit t dans ce voisinage, |f(t)| <= K|g(t)|", il n'est pas besoin de considérer que g ne s'annule pas, car dans ce cas, f s'annule en même temps que g.

RadarX
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Re: Notaton de Landau

par RadarX » 20 Déc 2017, 13:29

Ce n'est pas que " ne s'annulant pas sur U\{t0)" soit nécessaire mais cela affaiblit juste les hypothèses et rend la définition plus... généralisée. C'est pourquoi j'ai parlé de forme généralisée de la notation de Landau.
Cela pourrait être intéressant si cela ne pose le problème de la définition en t0.

Pseuda
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Re: Notaton de Landau

par Pseuda » 20 Déc 2017, 14:24

Ce que je comprends, c'est que dans cette définition, on se moque de savoir ce qui se passe en t0 (j'ai vu un exemple récemment concernant une intégrale impropre définie sur [a,b[ où, quand elle converge parce que la fonction à intégrer est dominée par une autre fonction dont l'intégrale converge sur [a,b[, on se moque de savoir ce qui se passe au point isolé b).

Je ne sais pas si tout cela est bien clair, j'espère que quelqu'un de plus compétent passera par là.

Ok l'hypothèse est plus faible (phi peut s'annuler en t0) qu'avec l'autre définition ; mais elle permet plus de choses.

 

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