[Deug Mias 2ème année] Normes

[Anonyme]

Bonjour, je voudrais savoir comment montre que N1 et N2 sont équivalentes
sans passer par la norme infinie et d'autre part, comment prouve-t-on qu'en
dimension finie toutes les normes sont équivalentes ?

Merci

[Anonyme]

Le Wed, 29 Sep 2004 22:54:24 +0200
Rodolphe a écrit
>Bonjour, je voudrais savoir comment montre que N1 et N2 sont équivalentes
>sans passer par la norme infinie

Pour faire simple vu que tu n'as pas précisé ton espace, voilà comment
on fait dans IR² avec les normes bateau, ça se généralise facilement à
IR^n.

Pour un espace quelconque, c'est mieux de passer par la norme infinie.

(a+b) ² = a² + 2ab + b² >= a² + b² donc N2 et d'autre part, comment prouve-t-on qu'en
>dimension finie toutes les normes sont équivalentes ?[/color]

il faut utiliser le théorême de Riesz -- en dimension finie la boule
unité fermée est compacte.

une démo ici (page 6) -->
http://www.unige.ch/math/folks/ronga/lyse_II/2003-2004/la_lyse_II.pdf



--
zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volonté humaine...

[Anonyme]

"Rodolphe" a écrit dans le message de news:
> Bonjour, je voudrais savoir comment montre que N1 et N2 sont équivalentes
> sans passer par la norme infinie

Continuité, boule unité fermée qui est compacte...

>et d'autre part, comment prouve-t-on qu'en dimension finie toutes les
normes sont équivalentes ?

Soient N1 et N2 deux normes sur E un ev de dim finie, elles sont donc
continues.
N1 est bornée sur la boule unité fermée S2( fermé borné ==> compact en dim
finie), donc il existe a tel que
N1(x/N2(x)) compact (ou de Borel-Lebesgue si vous avez vu).

[Anonyme]

> il faut utiliser le théorême de Riesz -- en dimension finie la boule
> unité fermée est compacte.
>
> une démo ici (page 6) -->
> http://www.unige.ch/math/folks/ronga/lyse_II/2003-2004/la_lyse_II.pdf

Pas nécessaire. Il suffit de montrer qu'en dimension finie la sphère unité
est compacte (réciproque inutile ici).