Normes non comparables EVN

[MoonX]

Bonjour,

Je cherche un exemple d'espace vectoriel normé tel qu'il existe deux normes non comparables (c'est à dire telles qu'il n'existe pas de tels que ou .

Il est évident déjà qu'on est nécessairement en dimension infini, mais j'ai cherché un peu dans les espaces infinis usuels (polynômes et fonctions continues) et j'ai rien trouvé pour l'instant de très intéressant...

Avez vous une idée ?

Je vous remercie par avance !

[aviateur]

Bonjour
Des exemples il y en a à la pelle. Mais avant tout à ma connaissance on ne dit pas comparables mais équivalentes.
Si tu prend l'espace des fonctions continues sur [0,1] et les normes
et
Il y en a une des 2 qui n'est pas dominée par l'autre, je te laisse voir.

[Skullkid]

Bonjour,

A priori MoonX cherche quelque chose de plus fort que la non équivalence : deux normes telles qu'aucune des deux ne soit plus fine que l'autre. Le seul exemple qui me vienne à l'esprit c'est la valeur absolue et une norme p-adique sur . Il doit probablement y en avoir sur des espaces plus classiques mais là à froid j'en vois pas.

Edit : non en fait mon exemple ne marche pas parce que la norme p-adique n'est pas homogène si on munit le corps de base de la valeur absolue classique. Autrement dit je parle de deux espaces vectoriels normés différents.

[aviateur]

@skullid si tu regardes bien il a mis "ou" et non pas "et". J'ai donc répondu à sa question.
Mais maintenant on peut aussi modifier mon exemple pour que les deux normes ne se dominent pas mutuellement.
Pour cela je garde les mêmes notations mais je remplace [0,1] par et l'espace E, c'est l'espace de fonctions continues f qui tendent vers 0 en et telle que
Là encore je laisse en exercice la preuve.

[Skullkid]

C'est vrai qu'on peut arguer que dès qu'on mélange "non" et "ou" il peut y avoir ambiguïté, perso je lis la question comme "non(il existe ... tels que (... ou ...))". Enfin bref c'est du pinaillage, ton exemple marche bien !

[aviateur]

Oui si on regarde bien ça serait "et" bref ...