Normes et continuité

[pouik]

Bonjour,
Pourriez vous m'aider sur cet exercice. Je n'y arrive basolument pas.... :hum: :hum: :triste: Merci d'avance pour votre aide.

L'espace vectoriel des polynômes à coefficients réel est muni de la norme définie par (les sont nuls à partir d'un certain rang). Des quatres formes linéaires sur définie ci-dessous, lesquelles sont continues ?

[klevia]

Salut,
j'ai un petit soucis avec ta norme ... ne manquerait-il pas un sup ?

[pouik]

oui désolé,
si

[legeniedesalpages]

oui désolé,
si

donc pour , il me semble qu'elle n'est pas continue, on prend (qui est de norme 1) et qui a pour dérivée n, donc non bornée sur la boule unité, non?

[edit] il me semble qu'on peut utiliser le même argument pour dire que n'est pas continue.

[pouik]

donc pour , il me semble qu'elle n'est pas continue, on prend (qui est de norme 1) et qui a pour dérivée n, donc non bornée sur la boule unité, non?

[edit] il me semble qu'on peut utiliser le même argument pour dire que n'est pas continue.

comment savez vous que la norme vaut 1 ?

[legeniedesalpages]

comment savez vous que la norme vaut 1 ?

Sur wiki : [url=http://fr.wikipedia.org/wiki/Continuité#D.C3.A9finition_dans_le_cas_des_espaces_m.C3.A9triques]http://fr.wikipedia.org/wiki/Continuité#D.C3.A9finition_dans_le_cas_des_espaces_m.C3.A9triques[/url] , il disent qu'une application linéaire est continue si et seulement si elle est bornée sur la boule unité.

Vu la définition de ta norme, on a pour tout , ,


par contre , donc n'est pas bornée sur la boule unité.

[klevia]

Pour a, je te le fait avec la définiton
a non continue en 0 s'écrit ainsi:

en fait ca ne marche pas avec tous les epsilon que tu veux:
Soit et soit Soit N appartenant à IN tel que i.e.

je pose alors
ainsi ||Q||

d'ou a n'est pas continue en 0

[klevia]

Resalut, je te fait maintenant.
remarque préliminaire


montrons que est continue en 0.

soit
alors

d'ou est contiue en 0, d'ou est continue

[klevia]

Pour la 3ème , un argument similaire à la première montre que ce n'est pas continue ( si tu veux je détaille ...)

[klevia]

Je te laisse faire la 4ème, j'ai trouvé qu'elle n'était pas continue non plus ... si tu as besoin d'aide ...

[pouik]

Merci,
mais je n'ai pas vraiment d'ideés pour la dernière.... :cry: :cry:

[klevia]

soit ( pourquoi pas)
soit
et soit N appartenant à IN tel que ( N existe car tend vers l'infini)

je pose P(X)=

quel est ||P|| ?
combien vaut

[SimonB]

Sur wiki : [url=http://fr.wikipedia.org/wiki/Continuité#D.C3.A9finition_dans_le_cas_des_espaces_m.C3.A9triques]http://fr.wikipedia.org/wiki/Continuité#D.C3.A9finition_dans_le_cas_des_espaces_m.C3.A9triques[/url] , il disent qu'une application linéaire est continue si et seulement si elle est bornée sur la boule unité.

une application linéaire est continue en général si elle transforme tout borné du départ en un borné de l'arrivée

un complément intéressant (que j'ai eu récemment en colle) : faire le lien pour une application f d'un evn dans un autre evn (non nécessairement linéaire) entre les assertions :
(i)f est continue
(ii)f est unift continue
(iii)f est bornée sur les boules

[ThSQ]

Je pense que les seules implications vraies sont :

ii => i ( :++: trophor)
i => iii
ii => iii

[SimonB]

i => iii

Et non, celle-ci est fausse !

Même si je n'arrive pas à me rappeler du contre-exemple qu'on m'avait donné à étudier (il s'agissait sûrement d'une série...). Enfin, je le retrouverai quand j'aurai reçu le livre que j'ai commandé ("Counterexamples in analysis" )...

[ThSQ]

Et non, celle-ci est fausse !

C'était trop beau. J'avais cherché un contrex sans en trouver (faut travailler en dim infinie oeuf corse)