Pour l'exo 6, c'est bon.
Juste une remarque concernant MimeTeX/LaTeX : u^*\circ u
et plus lisible que : u^*o u
Pour l'exo. 7,
à priori, tu ne peut pas utiliser le 6 vu que dans le 6 on était dans le cadre d'un espace Euclidien (donc de dimension finie) alors que ce n'est plus le cas ici.
Pour que ce soit licite, il faudrait vérifier que l'on a pas utilisé cette hypothèse (de dimension finie) or dès la question 1) tu l'utilise en disant que
"il existe une base orthonormée de vecteurs propres" (En plus, la notion de spectre et de rayon spectral, en dimension infini, ça ne marche pas tout à fait pareil qu'en dimension finie)
Sinon (pour la question 2), je pense que tu te doute qu'il faut une fois de plus procéder par double inégalité.
Une des deux résulte immédiatement du 1).
Pour l'autre, montre que, si
alors, pour tout
de E tels que
, on a: