Normes d'applications

[jlb]

Bonjour, je cherche un ou plusieurs énoncés d'exercices sur le calcul de normes d'application pour m'entrainer.
En particuliers, des exercices où le sup n'est pas atteint. Si vous avez cela en stock ( et pas trop dur!!) je vous remercie et vous demanderai certainement de l'aide pour les résoudre. Bonne journée.

[Ben314]

Salut,
Complètement au pif avec google, je tombe là dessus :
https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~ro ... pleLin.pdf

[jlb]

Merci Ben314 pour cette planche, je vais travailler cela. J'ai parcouru rapidement, je ne suis pas sûr de trouver mon bonheur. Bonne fin de journée et à bientôt car je risque de bloquer. Merci encore.

[jlb]

ex1:


Soit i appartenant à [I 1,mI]
On en déduit que

On construit alors un vecteur pour obtenir l'égalité: on considère la ligne i de la matrice qui donne on pose alors: pour j appartenant à [I1,nI] , xj = aij /|aij| lorsque aij est différent de 0 et xj=0 lorsque aij=0
et on vérifie que pour ce vecteur on atteint la norme.

C'est bon? Merci.

[jlb]

ex2
On montre que u est Lipschitz .
On trouve une suite bornée qui permet d'atteindre la norme ( même principe que ex1, comme convergence absolue, le terme de la série est borné).

je continuerai demain, merci.

[Ben314]

Pour le 1), c'est bon.
Pour le 2), a mon avis, avant même de regarder si la fonction u est continue, c'est pas mal de commencer par expliquer pourquoi elle est "bien définie", c'est à dire pourquoi la série u(x)=... est forcément convergente.

[jlb]

où A est un majorant de la suite x.
u(x) est donc définie puisque est absolument convergente.

[jlb]

ex3
u est définie car un produit de fonctions continues est continue.
u est Lipschitzienne de rapport

par contre, je ne vois pas l'astuce pour atteindre cette norme.

[Ben314]

Normal : elle ne sera pas forcément atteinte.
Elle va être atteinte lorsque est positive [ou bien négative] sur tout l'intervalle [0,1].
Si ce n'est pas le cas, tu va seulement pouvoir trouver des fonctions f qui donnent "presque" le sup, mais pas exactement.
Regarde par exemple ce que ça donnerais si : ça te donnera des idées...

[jlb]

Bonjour, la nuit porte conseil!! Hier, je ne pouvais pas utiliser la même technique car quand la fonction s'annule en changeant de signe, il y avait un pb de continuité.
Du coup, je considérais bien la fonction g "signe de et je l'approcherais uniformément par une suite de fonctions continues ( là, je ne sais pas trop comment justifier: sur ton exemple, j'ai mis la zone où la fonction s'annule dans une boîte de largeur contrôlable et j'ai relié les points du graphe de la fonction "au bord de la boîte" par un segment, cela marche bien mais pour une fonction plus"tordue" pourra-t-on le faire?)

[Ben314]

Je suis a peu prés persuadé que c'est faisable, mais ça risque d'être un peu compliqué dans le cas général.
Donc,
- Soit on essaye de regarder comment s'y prendre, en général.
- Soit on se contente de prouver bien proprement que, dans le cas de la fonction le sup ne peut pas être atteint.
- Soit on passe à l'exo. suivant...

[jlb]

Bon, j'ai trouvé pour le cas de ta fonction ( je crois)

soit réel strictement positif,
on considère la fonction g continue définie par g(t)= -1 pour t appartenant à [0,0.5- ],
g(t)=1 pour t appartenant à [0.5+,1] et g(t) =

Il vient
Après des calculs ( et si pas d'erreurs!!), on obtient

On obtient donc bien la norme désirée puisque la norme infinie de g est 1.

Pour la cas général, il faut considérer les points où la fonction s'annule en changeant de signe et procéder comme on vient de le faire en chacun de ses points? Je ne pense pas que cela suffise, il doit falloir invoquer la continuité de la fonction quelque part pour justifier qu'on peut faire la manipulation partout en ces points.
Si tu pouvais m'aider, je bloque pour le cas général, merci

[Ben314]

Pour le cas d'une fonction quelconque, plusieurs trucs me viennent à l'esprit :
1) Montrer que le résultat est vrai pour les polynômes (facile vu qu'ils ne s'annulent qu'un nombre fini de fois) puis utiliser le théorème de Stone-Weierstrass pour conclure (mais il faut connaitre Stone-Weierstrass...)
2) Tenter une construction "à la main" : pour , considérer les compacts disjoints et puis la fonction continue , mais il faut connaitre un peu de topologie pour montrer que est bien définie et continue...

Après, il y a peut-être plus simple (et/ou plus élémentaire...)

[jlb]

Oui, bien vu l'approximation pas les polynômes! Merci beaucoup, en tout cas. J'ai comme cela un exemple sous la poche, si j'ai le temps je regarde les exercices suivants. Encore merci.

[jlb]

Bonjour
Exercice4


Soit j0 l'indice de la colonne permettant de calculer ,
alors le vecteur permet d'atteindre cette valeur.


Ex5: u est bien définie ( produit de fonctions continues) et continue ( lipchitzienne) et on obtient que


Je pense que jusqu'à là, cela est bon, enfin je crois!! je réfléchis à la suite mais pas d'idée pour l'instant.

[Ben314]

Oui, c'est bon, sauf le 5) qui n'est pas complètement fini vu que ce que tu montre, c'est uniquement que
||u|| <= Sup(phi)
et qu'il faudrait montrer l'inégalité "réciproque".

[jlb]

Oui, c'est là où je bloque!!! Mon idée lorsque phi est positive: pour epsilon donné, on trouve un intervalle [a,b] ( définition sup et continuité) sur lequel sup phi - epsilon < phi < sup phi + epsilon. On définit alors f par: f(t) =1 sur [a,b] f(t) = 0 sur [a-epsilon, a] union [b+epsilon] et on complète ce qui reste affinement pour que cela soit continue.
Au final, je trouve ainsi une famille de fonctions f continues telle que lim|u(f)| = sup phi. norme1(f)

Cela semble correct? Je n'ai vraiment pas d'autres idées pour l'instant. Une aide? Merci.

[Ben314]

C'est bien ça, modulo quelques détails :
- Le fait que phi soit positive ou pas, tu t'en fout vu que de toute façon, c'est |phi| qui compte dans les calculs.
- Comme |phi| est continue sur [0,1] le sup est atteint en un certain t0 de [0,1] et il suffit de prendre une fonction fn nulle en dehors de [t0-1/n, t0+1/n] et dont la courbe fait un "triangle" montant jusqu'à fn(t0)=n sur l'intervalle [t0-1/n, t0+1/n] pour avoir intégrale(fn)=1 (pour tout n assez grand) et intégrale(fn.phi) qui tend vers phi(t0) : c'est la même chose que ce que tu fait, mais "un chouilla" plus simple vu que la fonction fn a forcément une intégrale égale à 1 et qu'elle ne fait que "monter puis descendre" sans rester constante sur un intervalle.
- Que ce soit avec ta méthode ou celle çi dessus, il faut dire un (vague) mot pour expliquer que, dans le cas où t0=0 ou t0=1 (i.e. un des bord de l'intervalle), on ferait "presque pareil" (mais pas tout à fait...) et ça marcherais.

[jlb]

Merci beaucoup, c'est plus simple ainsi effectivement!!

ex6
1) u est symétrique donc il existe une base orthonormée de vecteurs propres et une famille tels que


De plus pour vecteur propre associée à la valeur propre donnant on a


Ainsi
2)

[Ben314]

Oui, c'est bon.