Normes d'applications linéaires

[legeniedesalpages]

Bonsoir,

on considère l'application linéaire définie par la matrice:

dans les bases canoniques.

Déterminer dans le cas où est muni de la norme et de la norme .

Voilà, en posant ,

on sait que

.

On a ssi pour tout , on a

,

ie ssi pour tout , on a


et
,

ensuite je ne vois pas comment continuer :hein:


Merci pour votre aide.

[alavacommejetepousse]

bonjour
c'est la norme 1 ou 2 ?

[alavacommejetepousse]

il est plus simple de prendre II u II = 1

avec la norme 2

x^2 +y^2 +z^2 = 1

l x +2y +3z l = < 3x^2 + 3y^2 +3z^2 = 3

l 4x+2y+4z l = < 4
donc la norme est inférieure ou égale à 4
il y a égalité pour (1,0,0) la norme vaut 4.

[tonythx]

Tu peux élever au carré tes deux inégalités puis développer le membre de gauche. Toutefois, je ne vois pas trop ce que tu dois trouver, alors si tu pouvais reformuler?

[Maxmau]

Bonsoir,

on considère l'application linéaire définie par la matrice:

dans les bases canoniques.

Déterminer dans le cas où est muni de la norme et de la norme .

Voilà, en posant ,

on sait que

.

On a ssi pour tout , on a

,

ie ssi pour tout , on a


et
,

ensuite je ne vois pas comment continuer :hein:


Merci pour votre aide.

||(x,y,z)|| = |x| + |y| + |z|
||(X,Y)|| = Max {|X| , |Y| }
X = x + 2y + 3z
Y = 4x + 2y + 4z

Si |x| + |y| + |z| <= 1
|X| <= |x| + 2|y| + 3|z| <= 1 + |y| + 2|z| <= 2 + |z| <= 3
|Y| <= 2 + 2|x| + 2|z| <= 4
Sous la condition |x| + |y| + |z| <= 1, on a : Sup {|X| , |Y| }<=4
D’autre part si (x,y,z) = (1,0,0) alors (X,Y) = (1,4)

Donc : ||u|| = 4

[alavacommejetepousse]

||(x,y,z)|| = |x| + |y| + |z|
||(X,Y)|| = Max {|X| , |Y| }
X = x + 2y + 3z
Y = 4x + 2y + 4z

Si |x| + |y| + |z| <= 1
|X| <= |x| + 2|y| + 3|z| <= 1 + |y| + 2|z| <= 2 + |z| <= 3
|Y| <= 2 + 2|x| + 2|z| <= 4
Sous la condition |x| + |y| + |z| <= 1, on a : Sup {|X| , |Y| }<=4
D’autre part si (x,y,z) = (1,0,0) alors (X,Y) = (1,4)

Donc : ||u|| = 4

finalement c'est ce qui a déjà été dit

[legeniedesalpages]

Désolé, pour ce quiproquo, je voulais dire la norme 2. Merci pour vos réponses, je vais regarder ça. :)

[legeniedesalpages]

il est plus simple de prendre II u II = 1

avec la norme 2

x^2 +y^2 +z^2 = 1

l x +2y +3z l = < 3x^2 + 3y^2 +3z^2 = 3

l 4x+2y+4z l = < 4
donc la norme est inférieure ou égale à 4
il y a égalité pour (1,0,0) la norme vaut 4.

bon je ne comprends toujours pas pourquoi


l x +2y +3z l = < 3x^2 + 3y^2 +3z^2 = 3

l 4x+2y+4z l = < 4

j'ai l'impression que si je prends (x,y,z)=(4,2,4), ça ne marche pas.

[Maxmau]

bon je ne comprends toujours pas pourquoi


l x +2y +3z l = < 3x^2 + 3y^2 +3z^2 = 3

l 4x+2y+4z l = < 4

j'ai l'impression que si je prends (x,y,z)=(4,2,4), ça ne marche pas.

je crois que ça n'est pas une impression
Ca ne marche pas pour la norme 2 sur R^3
car pour (x,y,z) =(2/3 , 1/3 , 2/3 ) on a:
x²+y²+z²=1 et 4x+2y+4z = 6

[legeniedesalpages]

a ok merci