Norme

[valsad]

Bonjour,

J'ai un exercice à faire sur les normes mais j'ai déjà du mal à comprendre l'énoncé. Pouvez-vous m'aider svp?

Soit
Soit D l'opérateur de dérivation. Donner une norme pour laquelle l'opérateur D est continu et une norme pour laquelle l'opérateur D n'est pas continu.

Que signifie "opérateur D continu"?

Merci de votre aide.

[girdav]

Bonjour,
opérateur continu signifie que l'application est continue, avec muni d'une norme que l'on a choisie.
Cela signifie que pour tout , il existe tel que pour tous , on a que dès que telle que pour tout tel que on a .
Quelles normes sur les polynômes connais-tu?

[valsad]

Si alors


sont des normes.

Mais j'ai quand même du mal à comprendre!!!

[girdav]

Essayons de voir si est continu pour la norme . Pour tout et . On a donc .
Peux-tu trouver une constante telle que soit bornée par pour tout tel que ?

[valsad]

On peut prendre K=n? sans aucune conviction car je ne suis toujours pas sure de comprendre! Pourquoi pour tout P . Je le comprends pour mais pour tout P?

Concernant ta définition de la continuité, je comprends bien la première partie qui correspond à la continuité d'une fonction mais par contre comment en déduis-tu que D(P) est bornée?

[girdav]

Je ne sais pas si dans ton cours on a la proposition qui dit que pour un espace vectoriel et une application linéaire les assertions suivantes sont équivalentes :
i) est continue en .
ii) est continue.
iii) est lipschitzienne.

ii) implique i) est clair, de même que iii) implique ii). On montre que i) implique iii) par contraposition.

On ne peut pas prendre car ne doit pas dépendre du polynôme en question, ni de son degré. Si on prend , la majoration ne sera plus vraie.

[valsad]

Si une fontion f est lipschitzienne, cela signifie toujours qu'elle est bornée?

[Nightmare]

Salut,

f : x->x est lipschitzienne mais pas vraiment bornée :lol3:

[valsad]

Bonjour,
opérateur continue signifie que l'application est continue, avec muni d'une norme que l'on a choisie.
Cela signifie que pour tout , il existe tel que pour tous , on a que dès que telle que pour tout tel que on a .
Quelles normes sur les polynômes connais-tu?

Ah oui effectivement! mais du coup, je ne comprends toujours pas pourquoi la continuité et la linéarité implique que D soit bornée??? :briques:

[Doraki]

ça implique que D restreinte à la boule unité (aux P tels que N(P) = 1), est bornée.

[valsad]

Ok! je comprends maintenant pourquoi girdav parlait de N(P)=1!!!
Merci beaucoup!

Donc si on prend la norme , celle-ci n'est pas continue pour l'opérateur dérivé. C'est bien cela?

[girdav]

Oui (enfin je dirais que c'est plutôt l'opérateur "dérivée" qui n'est pas continu pour cette norme).
As-tu une idée pour en trouver une telle que soit continu?

[valsad]

Ben en fait pour les 3 normes que je connais, je trouve que l'opérateur dérivé n'est pas continu donc du coup, je n'ai plus d'idée! :cry:

[girdav]

Pour et , que vaut ?

[valsad]

on a alors

Donc

Et l'opérateur D est continu?????

Désolée! je ne suis pas très douée avec ces normes!!! :hein:

[girdav]

Attention, il faut faire commencer les sommes à partir de (car en dérivant le terme constant s'annule).

[valsad]

L'opérateur D est continu pour cette norme? Quel K peut-on pendre pour la majoration?

[girdav]

Si , que peux-tu dire de ?

[valsad]

Si N(P)=1 alors N(D(P))<1 d'où un opérateur dérivé continu. C'est cela?

Sinon, j'ai une question de fond: pourquoi doit-on se restreindre à la boule unité pour prouver la continuité?

[girdav]

Pour une application linéaire , être lipschitzienne et être continue, c'est la même chose.
En utilisant la définition d'application lipschitzienne on obtient que pour tout , étant l'espace vectoriel en question, il vient qu'il existe tel que donc . Ceci se traduit si n'est pas nul par c'est-à-dire que est bornée sur la boule unité.