Norme subordonnée.

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Sourire_banane
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Norme subordonnée.

par Sourire_banane » 02 Avr 2014, 22:10

Bonsoir,

Pour montrer l'axiome de séparation pour la norme subordonnée telle que [TEX]\forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}),\, |||A|||=\sup_{x\in\mathbb{R}^n,||x||1, on est assuré que x ne peut être le vecteur nul, donc il reste à le diviser par sa norme pour obtenir un vecteur unitaire et on montre qu'alors A est nulle par l'argument précédent. Mais c'est justement sur ce dernier résultat que je bloque !

Merci d'avance.



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Ben314
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par Ben314 » 02 Avr 2014, 22:30

Rappel (sous forme de... piqûre) :
Une matrice, ça correspond à une application linéaire et, en particulier, ce qui signifie que, si tu connait la valeur en un vecteur donné, tu en déduit la valeur sur toute la droite vectorielle engendré par le vecteur.

De façon plus générale, dés que tu connait les valeurs que prend une application linéaire sur une base, tu la connait partout et là, tu connait A.X pour l'ensemble des vecteurs X de norme <1 : ça te fournit BIEN PLUS d'info que ce qu'il t'en faut pour conclure...

P.S. c'est d'ailleur du fait que A est linéaire que la "norme subordonnée", on peut, si on préfère, la définir par

ou bien

Et, perso, j'ai une préférence pour la dernière qui dit, par définition, que pour toute A et tout x.
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Sourire_banane
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par Sourire_banane » 02 Avr 2014, 22:50

Ben314 a écrit:Rappel (sous forme de... piqûre) :
Une matrice, ça correspond à une application linéaire et, en particulier, ce qui signifie que, si tu connait la valeur en un vecteur donné, tu en déduit la valeur sur toute la droite vectorielle engendré par le vecteur.

De façon plus générale, dés que tu connait les valeurs que prend une application linéaire sur une base, tu la connait partout et là, tu connait A.X pour l'ensemble des vecteurs X de norme <1 : ça te fournit BIEN PLUS d'info que ce qu'il t'en faut pour conclure...

P.S. c'est d'ailleur du fait que A est linéaire que la "norme subordonnée", on peut, si on préfère, la définir par

ou bien

Et, perso, j'ai une préférence pour la dernière qui dit, par définition, que pour toute A et tout x.

D'accord.

D'ailleurs oui j'aime bien aussi cette dernière définition vu que ça m'aide à montrer que , pour A et B matrices.
Ok, j'ai compris en quoi démontrer la ppté pour tout vecteur dans la boule fermée m'aide à le montrer pour tout autre vecteur de R^n. Par contre, le montrer (que si |||A|||=0_K alors A=0_E) dans ce cas, je vois pas trop, du moins avec cette écriture qui me bloque. Si je prends la deuxième écriture (ou la troisième, d'ailleurs) par exemple, elle me dit que le sup est pris parmi tout vecteur de norme exactement égale à 1 (resp' x différent de 0), ce qui m'assure qu'aucun de ces vecteurs n'est nul et donc je montre confortablement que si Ax=0 alors A vaut 0. Peut-être que c'est un abus et que je passe à côté de qqchose d'évident, mais ça me bloque dans le cas présent : Dans la condition où ||x||<1, je peux avoir x=0...

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Ben314
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par Ben314 » 02 Avr 2014, 23:14

A mon avis, le tout premir truc à faire avec cette "norme subordonnée", c'est de montrer que les sois disant 3 définition sont bien les mêmes et ça provient uniquement du fait que

Donc, partant (par exemple) de ta définition, tu dit que ton sup sur les x de R^n tels que ||x||<1 de ||Ax||, c'est le sup sur les y de R^n tels que ||y||=1 et sur les lambda de [0,1[ de ||A(lambda.y)|| et tu en déduit que c'est la même chose que le sup sur y de R^n tels que ||y||=1 de ||A(y)||. (vu que le sup de lambda.constante pour lambda dans [0,1[, c'est la constante...)

Idem partant de la dernière définition sauf que le lambda disparait complètement du truc dont on cherche le sup...
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Sourire_banane
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par Sourire_banane » 02 Avr 2014, 23:26

Merci pour ta réponse ! Je la verrai plus en détail demain... Maintenant dodo :dodo:

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alm
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par alm » 03 Avr 2014, 01:34

Sourire_banane a écrit:Bonsoir,

Pour montrer l'axiome de séparation pour la norme subordonnée telle que ...



Tout d'abord le plus utilisé est le symbole au lieu (mais c'est correct aussi car c'est un ). En fait on a même : .

Ensuite pour la séparation si alors pour tout non nul comme vérifié ( on aurait prendre c'est bon, mais j'ai voulu satisfaire ton penchant vers le sens strict).
D'après la définition adoptée on a et comme est une norme on a par linéarité on a et ceci pour tout vecteur non nul donc .

 

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