Nome matricielle / exponentielle de matrice

[Aispor]

Bonjours,
Dans cet exercice je suis bloqué à la question C de la question 4.



Voici ce que j'ai répondu juste avant :

A. J'ai montré que exp(A) était unitaire(son inverse est égal à sa transposée), et donc, puisque l'on a vu que la norme 2 d'une matrice était égale à sqrt(rayon-spectral(transposé-matrice*matrice)) j'en déduis que la norme 2 de exp(A) vaut 1.

B. De même, on sait que la norme de Frobenius d'une matrice est sqrt(trace(transposée-matrice*matrice)) on en déduit que la valeur recherchée est sqrt(n)

C. Je vois pas x)

Merci d'avance

[Ben314]

Salut,
Je sais pas trop ce que c'est ton (faut bien comprendre que les notations, ça va ça vient...)
Si c'est le rayon spectral, c'est facile : Exp(A) est dans le groupe orthogonal et je pense que tu sait que ça implique que ces valeur propres (réelles ou complexes) sont toutes de module égal à 1.
Donc le rayon spectral, c'est évidement 1.

Si désigne autre chose, ben... ça va dépendre de ce que ça désigne...

P.S. J'avais pas vu la "suggestion" de la question qui semble aller dans le sens que c'est bien le rayon spectral. Sauf que ça va aussi dans le sens que... le lecteur ne sait pas déjà que les valeur propres d'un élément du groupe orthogonal sont de module égal à 1.
Par contre, toujours vu la "suggestion", peut-être que tu sait déjà que toute matrice hermitienne (ou auto-adjointe) complexe est diagonalisable (dans une base orthonormée) et à valeur propres réelle.
Dans ce cas, il te suffit de constater que, si A est réelle antisymétrique, alors iA est hermitienne.

[Aispor]

Salut Ben.
En effet cette notation signifie le rayon spectral
La première explication à l'air d'être la plus efficace ^^ mais j'avais complètement oublié que les valeurs propres d'une matrice orthogonal appartenaient à {+-1}
Merci de l'aide !

[aviateur]

Bonjour
Pour la dernière question tu fais la différence membre à membre et tu obtiens
d'où
Ce qui implique

D'autre part Ax=b implique ou encore

Finalement

conduisent à

[Ben314]

La première explication à l'air d'être la plus efficace ^^ mais j'avais complètement oublié que les valeurs propres d'une matrice orthogonal appartenaient à {+-1}

HOLA !!!!! Y'a du dégât là.....
Les valeurs propres d'une bête rotation d'angle theta de R^2 dans R^2, c'est exp(i.theta) et exp(-i.theta). . .

[Aispor]

Upps ^^ en effet je me disais bien que dans le cours ça devais être "les éventuelles valeurs propres réelles" x)
Je l'avais pas fais en complexe mais c'est vrai que maintenant que tu le dis je vais m'en souvenir ^^