Nombres premiers

[Bill BM]

Bonjour.

SVP, comment on montre que si p (nombre premier) divise a.b, alors p divise a ou b.

[Doraki]

Si pgcd(p,a) = 1 alors on trouve u et v tels que au+pv = 1
En multipliant par b, abu+pbv = b.
Si ab est multiple de p, ab = kp, et donc b = p(ku+bv).
Donc b est multiple de p.

Si pgcd(p,a) n'est pas 1, alors pgcd(p,a) = p vu que c'est le seul autre diviseur de p, et donc a est multiple de p.

[beagle]

repasser derrière doraki, c'est uniquement le plaisir de faire moins bien,
vrai que le problème est déjà limite des définitions, mais bon,
la méthode du beagle:
axb=(fois des premiers qui font a)x(fois des premiers qui font b)
ensuite tu fais sentir au beagle le p,
et tu lui dis cherche mon chien ,cherche, allez cherche:

si le chien s'arrète devant un des premiers de a, alors p est dans a,
si le chien s'arrète devant un des premiers de b , alors p est dans b
s'il s'arrète devant a et devant b, alors p est dans a et b
franchement soit p est en partie dans a et en partie dans b, et il risque le déclassement en nombre deuxième
soit p est en partie dans un premier de a et en partie dans un autre premier de a, idem risque de déclassement.

[Ben314]

repasser derrière doraki, c'est uniquement le plaisir de faire moins bien,
vrai que le problème est déjà limite des définitions, mais bon,
la méthode du beagle:
axb=(fois des premiers qui font a)x(fois des premiers qui font b)
ensuite tu fais sentir au beagle le p,
et tu lui dis cherche mon chien ,cherche, allez cherche:

si le chien s'arrète devant un des premiers de a, alors p est dans a,
si le chien s'arrète devant un des premiers de b , alors p est dans b
s'il s'arrète devant a et devant b, alors p est dans a et b
franchement soit p est en partie dans a et en partie dans b, et il risque le déclassement en nombre deuxième
soit p est en partie dans un premier de a et en partie dans un autre premier de a, idem risque de déclassement.

La preuve est parfaitement correcte à condition de savoir que tout entier se décompose de façon unique en produit de nombre premier.

A un niveau "pas trop élevé", ce résultat est trés façilement "admis" (il apparait plus ou moins comme une "évidence"...)

MAIS, à un niveau plus élevé ou on veut faire la preuve de ce résultat, ben on se rend compte que c'est pas du tout "une évidence" et que, pour prouver ce résultat, il faut avoir montré avant que, lorsqu'un nombre premier divise un produit AB alors il divise soit A soit B.

Ce qui explique la preuve de Doraki...

[beagle]

ah, merci Ben, je crois que j'ai compris, en fait c'est parce que Bill ne connait rien qu'on ne peut pas utiliser ce que j'avais pris.
Sont sympa de l'avoir accepté pour des études supérieures n'empèche, zétaient pas obligés ...
bon, ok, oeuf ou la poule faut connaitre ses origines, au départ il y a, ensuite le deuxième jour fut créer le PGCD,...

[beagle]

est-ce que l'on peut avoir, au stade initial de la discussion, où l'on ne connait pas encore tout ce qui est connu lorsqu'on le saura:
r1xr2=kp

p serait premier
r1 et r2 entiers strictements inférieurs à p,
k entier,
autrement dit au stade de ce que l'on connait,
p premier possible si égale à r1xr2/k?
je trouve que cela a une drole de tète pour un nombre premier, mais juge-je avec des présupposés postérieurs?

[beagle]

p peut s'exprimer sous forme de multiple de b ou a ou l'inverse, avec des restes r1 et r2.
p ne divise pas b, ni ne divise a,
alors p=r1xr2/k
k entier
r1 et r2 strictement inférieurs à p
comme c'est vachement dur d'en faire un nombre premier, p ne divise pas a et ne divise pas b est impossible.
Cela marcherait comme truc?
Le détail de la démonstration revient à faire du doraki en plus vilain?

[Finrod]

p peut s'exprimer sous forme de multiple de b ou a ou l'inverse

Je veux bien une explication. Le cas "inverse" m'échappe.

La version non bridée la plus rapide est de dire que est un corps donc est intègre.

Mais c'est de la triche évidemment, puisque dans l'exo on demande justement de prouver l'intégrité.

[beagle]

p est plus petit ou plus grand que a ou b,
on peut exprimer l'un (ou l'autre) comme un multiple de l'autre(l'un) avec un reste r, non?
r1 pour relation entre a et p
r2 pour relation entre b et p

a et b ne sont pas entiers?