Nombres premiers entre eux

[Pseuda]

Bonjour,

Comment démontrer que si a et b sont premiers entre eux, et si c et d sont premiers entre eux, alors ac, bd et ad+bc sont premiers entre eux (alors que 2 par 2 pas forcément) ?

[aymanemaysae]

Soient a et b premiers entre eux, donc a^2 et b^2 sont premiers entre eux.

Si on prend c = b^2 et d = a^2 , alors c et d sont premiers entre eux, mais ac et bd ont ab comme diviseur commun.

[beagle]

Soient a et b premiers entre eux, donc a^2 et b^2 sont premiers entre eux.

Si on prend c = b^2 et d = a^2 , alors c et d sont premiers entre eux, mais ac et bd ont ab comme diviseur commun.

et ad+bc? ont quelque chose de ab?

[aymanemaysae]

Merci pour la remarque, j'avais oublié que les nombres d'un ensemble quelconque D (fini ou infini) d'entiers sont dits premiers entre eux dans leur ensemble si 1 est leur plus grand commun diviseur.

[remullen2000]

Par l'absurde c'est pas trop dur:

Soit p un nombre premier qui divise ac, bd et ad+bc.

p / ac implique p/ a ou p/c.

Supposons p/a :

Comme p/bd, on a p/b ou p/d. Mais a et b premier impose que p/d.

De plus comme p/ad+bc et p/a, on a p/bc, donc p/b ou p/c. comme on l'a déja dit p/b est impossible donc p/c qui est absurde puisque d et c sont premier.

Par symétrie du problème on peut se passer du cas p/c qui se fait pareil.

[Pseuda]

Par l'absurde c'est pas trop dur:

Soit p un nombre premier qui divise ac, bd et ad+bc.

p / ac implique p/ a ou p/c.

Supposons p/a :

Comme p/bd, on a p/b ou p/d. Mais a et b premier impose que p/d.

De plus comme p/ad+bc et p/a, on a p/bc, donc p/b ou p/c. comme on l'a déja dit p/b est impossible donc p/c qui est absurde puisque d et c sont premier.

Par symétrie du problème on peut se passer du cas p/c qui se fait pareil.

En effet, merci ! En direct, l'identité de Bezout n'a pas l'air de marcher.