Nombres cyclotomiques et décomposition unique en produit de facteurs

[laurent82]

Bonjour à vous,

En me penchant succinctement sur l'histoire du dernier théorème de Fermat, je suis tombé sur les travaux de Kummer.
Pour la petite histoire, et pour motiver ma question je précise quelque peu le cadre du problème:
Au milieu du 18ème siècle Lamé propose une preuve du théorème qui repose en partie sur l'égalité suivante:

x^n + y^n = (x-e1y)(x-e2y)...(x-eny)

où les e1, e2, ..., en, sont les n racines n-ièmes distinctes de -1. (désolé pour la notation) et où les x, y sont donc des entiers.

Sa preuve nécessite plus loin la décomposition unique en produit de facteurs des nombres (x-eiy). Or Kummer démontre quelques années plus tard que ceci est faux. Il soupçonne en particulier 39, 59 et 67 de posséder plusieurs décompositions possibles et introduit la notion de nombres idéaux (ou réguliers) pour nommer les autres. Il établit alors un test de "régularité" lié aux nombres de Bernoulli.
Pour l'anecdote, je rajoute encore que quelques années plus tard Liouville récupère cette démonstration et l'applique au théorème de Fermat avec x, y, z des polynômes à une variable à coefficients sur un corps quelconque. La démonstration est sauve ici, puisque ces éléments forment un anneau factoriel.

Bref, j'en arrive à mes difficultés. De quel « type », ou quelle est la définition de l’ensemble (l’ensemble des (x-eiy)) que Kummer considère (j’entends de quel type seront les décompositions admises, par exemple le nombre de racine de l’unité considérée est-il fixé à l’avance ou admet-t-on les racines n-ièmes de l’unité pour tout n)? ces (x-eiy) avec x,y des entiers sont ils ces nombres que l'on appelle cyclotomiques? Forment-ils un groupe, un corps, un anneau (dans ce cas on pourrait donc parler d'un anneau non factoriel), ou un ensemble quelconque?
Ou encore, quelqu'un ici saurait-il par exemple décomposer 39 de deux manières différentes?

Je vous remercie d’avance.

[yos]

Bonsoir.
L'exemple le plus connu de décomposition non unique en produit d'irréductibles est .

[laurent82]

Merci pour ta réponse, mais ici en l'occurence la décomposition qui fait intervenir racine de 5 n'appartient malheureusement pas à l'ensemble considéré. De plus tous les nombres plus petits que 37 seraient réguliers, ou plutôt 37 serait le premier nombre à permettre de multiples décompostions.

[laurent82]

39, pardon.

[yos]

Je me suis placé dans qui est un corps dont l'anneau des entiers n'est pas factoriel.
C'est aussi le cas de pour d=10, 15, 26, 30, 34, 35, 39, etc. mais aussi d=-6, -10, -13, etc.
Pour le reste de ta prose, je saisis mal ta question. Kummer a contesté la méthode de Lamé et tu demandes la nature des utilisés par Kummer??
La décomposition de Lamé est juste (et triviale) mais inutilisable pour un raisonnement arithmétique car non unique (sauf pour des n particuliers).