Nombres complexes inversibles

[MrKnightley]

Bonjour,

J'essaie de résoudre cet exercice, mais je bloque à la question 3 :

On note Z[i] l’ensemble des complexes z = a+ib. On note N(z) = |z|² = z

1) Montrer que la somme et le produit d’éléments de Z[i] restent dans Z[i].

Soient z = a+ib et w = x+iy deux nombres complexes.

z+w = a+x+i(b+y).
z×w = (a+ib)(x+iy) = ax+aiy+ibx+i² by = ax-by+i(ay+bx)

Donc (z+w) et (z×w) appartiennent à Z[i].

2) Montrer que N(zw) = N(z) × N(w)

N(zw) = |zw|²
.............= (zw) ()
.............= (zw) ( )
.............= z × w
.............= N(z) × N(w)

On dit qu’un nombre z de Z[i] est inversible s’il existe un w de Z[i] tel que zw = 1.

3) Montrer que si z est inversible alors N(z) = 1. En déduire que les seuls nombres inversibles de Z[i] sont +/- 1 et +/- i.

Je n'arrive pas à prouver ça.

Si w = , alors z × w = 1, effectivement, mais je ne vois pas par où commencer, et comment prouver que seuls 1 et i sont inversibles.

Auriez-vous une idée ? Merci d'avance !

[hdci]

J'imagine que c'est l'ensemble des complexes de parties réelles et imaginaires entière (soit ) ?

Ensuite, pour que soit inversible dans , cela signifie qu'il existe dans tel que .

Mais alors quelle est la valeur de ?
Ensuite sachant que , quelle peut être la valeur de , sachant que et sont des entiers naturels ?
Le reste en découle.

[MrKnightley]

Si , alors .
Donc et donc N(z) = N(w) = 1. D'accord ! (j'en avais déduit que N(z) = 1 / N(w) et je ne voyais pas comment avancer ensuite...)

Donc si N(z) = 1, z = +/-1. ou z = +/- i. C'était tout bête, merci !

[MrKnightley]

Bonjour,

J'essaie de finir cet exercice, mais je bloque à la question suivante :

On note l’ensemble des complexes avec et appartiennent à . On note .

[...]

4) Dans cette question, on montre l’existence d’une division euclidienne dans au sens suivant.
Si et appartiennent à avec q 0, alors il existe un couple de tel que :

, où

Montrez que pour tout réel , il existe un de tel que .
En déduire que pour tout complexe de , il existe un de tel que .

Je suis perdu, je n'ai aucune idée par où commencer ! J'avais pensé démarrer une démonstration par récurrence, mais ça ne me mène nul part. Quelqu'un aurait-il une idée ?

Merci d'avance !

[Sa Majesté]

Montrez que pour tout réel , il existe un de tel que .
En déduire que pour tout complexe de , il existe un de tel que .

Je suis perdu, je n'ai aucune idée par où commencer !

Trace un axe des réels, place un x quelconque et regarde ce que ça donne.