[DEUG]nombres algébriques

[Anonyme]

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour une question.

Résumé de ce que j'ai fait :

alpha complexe est algébrique si il existe un polynôme non nul P de Z[X]
qui admet alpha pour racine.

Soit alpha algébrique.

I = { P de Q[X] / P(alpha) = 0} est un idéal de Q[X]

Il existe PI non nul de degré minimal dans I. PI est irréductible dans
Q[X]

Soit Q[alpha] = { x de C / il existe P de Q[X] tel que P(alpha) = x)

Q[alpha] est un Q-ev.

n degré de PI : (1, ... , alpha^(n-1)) est une base de Q[alpha]

Je note * la multiplication externe de Q sur Q[alpha] et je note X la
multiplication interne dans Q[alpha]

(Q[alpha], +, *, X) est une algèbre

Il me reste à montrer :

(Q[alpha], +, X) est un corps.

J'ai montré (Q[alpha], +, X) est un anneau.

J'ai essayé de montrer que pour tout x différent de 0 de Q[alpha], x^-1
appartient à Q[alpha] mais sans succès

J'ai également essayé d'utiliser un théorème trouvé dans mon cours :

(Q[alpha], +, X) est un anneau, et les seuls idéaux de Q[alpha] sont {0}
et Q[alpha] alors (Q[alpha], +, X) est un corps mais sans succès non
plus.

Merci de m'indiquer des pistes, ou de me dire si je manque quelque chose
d'évident.

Et bon week-end ...

[Anonyme]

numa wrote:

> Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour une question.
>
> Résumé de ce que j'ai fait :
>
> alpha complexe est algébrique si il existe un polynôme non nul P de Z[X]
> qui admet alpha pour racine.
>
> Soit alpha algébrique.
>
> I = { P de Q[X] / P(alpha) = 0} est un idéal de Q[X]
>
> Il existe PI non nul de degré minimal dans I. PI est irréductible dans
> Q[X]
>
> Soit Q[alpha] = { x de C / il existe P de Q[X] tel que P(alpha) = x)
>
> Q[alpha] est un Q-ev.
>
> n degré de PI : (1, ... , alpha^(n-1)) est une base de Q[alpha]
>
> Je note * la multiplication externe de Q sur Q[alpha] et je note X la
> multiplication interne dans Q[alpha]
>
> (Q[alpha], +, *, X) est une algèbre
>
> Il me reste à montrer :
>
> (Q[alpha], +, X) est un corps.
>
> J'ai montré (Q[alpha], +, X) est un anneau.
>
> J'ai essayé de montrer que pour tout x différent de 0 de Q[alpha], x^-1
> appartient à Q[alpha] mais sans succès

remarque il te suffit de montrer que (alpha)^-1 est dans Q[alpha] pour
pouvoir conclure.....
(1, ... , alpha^(n-1)) étant une base de Q[alpha],
(1,...,alpha^(n-1),alpha^n ) est liée.Il existe des coefficients non
tous nuls (a_o, a_1,...,a_n) tels que sum (a_i*alpha^i)=0
quitte à simplifier par la bonne puissance de alpha,on peut supposer a_o
non nul.
ainsi, a_o= a_1*alpha+...+a_n*alpha^n et
1/alpha = (1/a_o)*(a_1+....+a_n*alpha^(n1) ) .

[Anonyme]

"numa" a écrit

> Soit alpha algébrique.
> Il me reste à montrer :
>
> (Q[alpha], +, X) est un corps.

> J'ai essayé de montrer que pour tout x différent de 0 de Q[alpha],
x^-1
> appartient à Q[alpha] mais sans succès
>
Voici deux pistes :

1) Soit x non nul dans Q[alpha]. x = F(alpha) où F est un polynôme de
degré < n. P et F sont premiers entre eux puisque P est irréductible.
Donc ...

2) Soit x non nul dans Q[alpha] et soit H l'application linéaire de
Q[alpha] dans lui même donnée par H(y) = x*y. H est injective, donc ...

Cordialement
Stéphane

[Anonyme]

"Osiris" a écrit

> remarque il te suffit de montrer que (alpha)^-1 est dans Q[alpha] pour
> pouvoir conclure.....

Je ne comprends pas comment. Tu peux préciser stp ?

Cordialement
Stéphane

[Anonyme]

> Il me reste à montrer :
>
> (Q[alpha], +, X) est un corps.
>
> J'ai montré (Q[alpha], +, X) est un anneau.
>
> J'ai essayé de montrer que pour tout x différent de 0 de Q[alpha], x^-1
> appartient à Q[alpha] mais sans succès

Pas facile de le trouver tout seul, mais c'est classique ! (si
je raconte pas de bétises !)

Soit x appartenant à Q[alpha] différents de 0, x = R(alpha) ou R
est un polynome de degré <= n-1 (cf la base de Q[alpha]).

Par ailleurs, P étant irréductible, P et Q sont premiers entre eux.
Tu peux appliquer le théorème de Bézout sur les polynomes. Et
appliquer à alpha la relation obtenue...

[Anonyme]

Merci pour les renseignements.

La proposition d'utiliser l'égalité de Bezout me semble la plus
"directe" et utilise un résultat intermédiaire.

Par contre, je n'ai pas réussi à utiliser la proposition d'Osiris.

Merci encore et bon dimanche

Numa