Nombre de surjections

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olivercat
Messages: 1
Enregistré le: 30 Oct 2007, 10:58

Nombre de surjections

par olivercat » 31 Oct 2007, 10:12

Bonjour à tous.

Soit En = {1,2,...,n} et p un nombre entier.
On note Sn,p le nombre de surjections de En vers Ep.

Je voudrais montrer que:

1) p^n = SOMME(q=0 à p) C(p,q).Sn,q
avec C=combinaison

2) puis en déduire que:

Sn,p = (-1)^p SOMME(k=0 à p) (-1)^k C(p,k) k^n

Un grand merci d'avance pour ceux qui arriveront à m'aider !
Bon courage...



busard_des_roseaux
Membre Complexe
Messages: 3151
Enregistré le: 24 Sep 2007, 15:50

par busard_des_roseaux » 31 Oct 2007, 21:17

bonsoir,

le nombre d'applications f de vers
est
en effet, il y a p choix pour f(1), p choix pour f(2), .., p choix pour f(n).

Maintenant, on partitionne l'ensemble des applications de vers en:
1) les applications telles que Card(Im(f))=1
2) les applications telles que Card(Im(f))=2
...
k)les applications telles que Card(Im(f))=k
...
p) les applications telles que Card(Im(f))=p

Pour le cas (k), on choisit un ensemble image Im(f) , donc choix et pour chaque choix, il y a choix d'applications de sur .

d'où la formule:


ThSQ
Membre Complexe
Messages: 2077
Enregistré le: 10 Oct 2007, 19:40

par ThSQ » 31 Oct 2007, 22:05

Ca a été posé il y a pas très longtemps (< semaine) avec un lien vers un pdf très intéressant. Cherche dans l'historique.

 

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