Nombre de surjection

[Anonyme]

bonjour à tous
on note S(n,p)le nombre de surjections de E dans F lorsque E et F ont respectivement n et p éléments

on suppose n>=2 et P>=2
comment démontrer que
S(n,p)=p(S(n-1,p-1)+S(n-1,p))

un autre exercice
comment vérifier que sigma(k=0,n)[sigma(l=0,k) A] est aussi
sigma(l=0,n)[sigma(k=l,n)] A]


MERCI

[Anonyme]

on note S(n,p)le nombre de surjections de E dans F lorsque E et F ont respectivement n et p éléments

on suppose n>=2 et P>=2
comment démontrer que
S(n,p)=p(S(n-1,p-1)+S(n-1,p))

tu fixes un élément a de E et tu notes E'=E\{a}.
tu partitionnes l'ensemble des sujections de E sur F en l'ensemble de celles telles que la restriction à E' est surjective et les autres dont la restriction à E' n'est pas surjective

pour les premières il y en a S(n-1, p)xp (p images possibles pour a)

pour les secondes on donne une image à a (p possibilités) et on construit une surjection de E' sur F\{f(a)}. Il y en a pxS(n-1,p-1)



un autre exercice
comment vérifier que sigma(k=0,n)[sigma(l=0,k) A] est aussi
sigma(l=0,n)[sigma(k=l,n)] A]

Qu'est ce A ?

[Anonyme]

merci ouali
je voulais dire par A un terme que dépend de k et l.
comme par exemple ai ou xi avec i un indice.

[yos]

Ecrit la matrice carrée nXn des A(k,l). Tu vois que la somme considérée est celle d'un triangle de termes . Dans un cas tu additionnes les termes de chaque ligne et ensuite tu calcules la somme de ces sommes.
Dans l'autre cas, tu additionnes les termes de chaque colonne et tu fais la somme de ces sommes.