Nombre de surjection (exercice)

[viclac]

Bonjour je suis en prépa commerce et je n'arrive pas à comprendre le corriger d'une question que voici:

Énoncé:

pour tout couple (n,p) de N on note Sp,n le nombre de surjection d'un ensemble E à p éléments vers un ensemble F à n éléments, c 'est à dire le nombre d'applications f de E vers F telles que tout éléments de F admette au moins un antécédent par f dans E. on conviendra de poser, pour tout n de N*, Sp,0=S0,p=0 et S0,0=1



question :

Exprimer pour tout n de N, pour tout p de N, et pour tout k de [0,n] le nombre d'applications d un ensemble E a p éléments vers un ensemble F à n éléments dont le cardinal de l image est égal à k, en fonction de n,p,k et Sp,k.

Réponse : (je ne mets que le cas qui m intéresse)

Raisonnement combinatoire:
Si n >= p
si k appartient à [0,p],

-choisir l ensemble des éléments dans F, l image de l application : (k parmis n) possibilités
-construire une application surjective de E dans cet ensemble à k éléments Sp,k possibilités

D'où: (k parmis n)Sp,k applications de ce genre


C'est donc le deuxième point de raisonnement que je ne comprends pas, pourquoi construire une surjection particulièrement ?? si quelqu'un pouvait m'éclairer dessus?


Merci

[Luc]

Salut,

Choisir une application f de E dans F, ou de façon équivalente de dans , dont l'image est de cardinal , c'est choisir l'image de f dans F, c'est-à-dire une partie de à éléments, et choisir une façon d'envoyer E sur cette image, c'est à dire une surjection de E dans cette partie à éléments.
En effet, f est alors une application surjective de E dans son image f(E) (par définition), il y a donc exactement façons d'envoyer E sur l'image de f.

Luc

[bauzau]

Si n >= p
si k appartient à [0,p],

-choisir l ensemble des éléments dans F, l image de l application : (k parmis n) possibilités
-construire une application surjective de E dans cet ensemble à k éléments Sp,k possibilités

D'où: (k parmis n)Sp,k applications de ce genre


C'est donc le deuxième point de raisonnement que je ne comprends pas, pourquoi construire une surjection particulièrement ??

En fait on ne construit pas vraiment "une surjection particulière", mais plutot une surjection quelconque,

en fait je pense qu'on te dit que pour construire cette surjection quelconque, il nous faut choisir k image parmis les n élements possible de F, donc cela revient à compter le nb de possibilité de choisir k éléments dans n elements (k parmi n)

Ce que je ne comprend pas: le cas que tu proposes ne serait pas plutot p>=n? car il n'y a aucune surjection d'un ensemble de p elements vers un ensemble à n éléments si p<n, ou bien il faut que je revois ca??

[Luc]

le cas que tu proposes ne serait pas plutot p>=n? car il n'y a aucune surjection d'un ensemble de p elements vers un ensemble à n éléments si p<n, ou bien il faut que je revois ca??[/I]

Il ne s'agit pas de surjection d'un ensemble de p elements vers un ensemble à n éléments mais bien d'un ensemble de p éléments vers un ensemble à k éléments. La condition p<=n est en revanche inutile.

[viclac]

d'accord merci beaucoup pour les réponse!

Juste pour vérifier si j ai bien compris, on choisit une application surjective pour que l 'ensemble des k éléments soit atteint (comme vous l'avez dis Luc, pour que l image de E soit f(E), les k éléments)
C'est bien cela?

[Luc]

d'accord merci beaucoup pour les réponse!

Juste pour vérifier si j ai bien compris, on choisit une application surjective pour que l 'ensemble des k éléments soit atteint (comme vous l'avez dis Luc, pour que l image de E soit f(E), les k éléments)
C'est bien cela?

Oui c'est ça!

[viclac]

ok encore merci!