Nombre de racines d'un polynôme

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Paul1908
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Nombre de racines d'un polynôme

par Paul1908 » 10 Aoû 2017, 15:19

Bonjour,

Je dois determiner le nombre de racines réelles de Pn = (somme de k=0 à n) X^k / k!
Alors je me suis dit que j'allais calculer la dérivée, et je peux montrer que ce polynôme n'admet pas de racines multiples mais impossible de trouver le nombre de racines réelles...

Merci d'avance !



pascal16
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Re: Nombre de racines d'un polynôme

par pascal16 » 10 Aoû 2017, 17:36

tu trouves quoi comme dérivée ?
tu ne reconnais pas une formule simple ?

Paul1908
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Re: Nombre de racines d'un polynôme

par Paul1908 » 10 Aoû 2017, 18:29

Comme dérivée j'obtiens

(Pn)' = Pn-1

Donc j'ai bien une formule simple, et je comprends pourquoi on n'a pas de racines multiples mais comment je peux connaitre le nombre de racines réelles, sachant que ce sont que des racines simples.. ?

Merci

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MJoe
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Re: Nombre de racines d'un polynôme

par MJoe » 10 Aoû 2017, 18:48

Bonjour,

La formule de Pn(x) est la suivante si j'ai bien compris :


Lorsque n tend vers l'infini, cela devrait vous faire penser à une fonction bien connue (dont la courbe représentative ne coupe jamais l'axe des abscisses).

MJoe.

pascal16
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Re: Nombre de racines d'un polynôme

par pascal16 » 10 Aoû 2017, 19:39

j'avais pas vu la factorielle
C'est le DL à l'ordre n de e^x, mais ça ne nous donne pas la réponse

sur R+, Pn(0)=1 et Pn est la somme d'un fonction constante et de fonctions strictement croissantes. Pn(x) est donc strictement croissante et vaut 1 en 0, Pn est donc strictement positive sur R+ et n'y admet donc pas de racine.

je pense que tu as tracé quelques courbes et pour n impair on a 1 zéro et n pair un minimum. Je tenterais une récurrence

aviateur
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Re: Nombre de racines d'un polynôme

par aviateur » 10 Aoû 2017, 21:06

Bonjour
Avec tout ce qui a été dit au dessus et qu'il faut donc exploiter alors je donnerai bien comme indication supplémentaire que l'on a : pour tout x<y,

Et je conseille de faire une récurrence en distinguant le cas n pair et n impair. Pour deviner la récurrence
regarder pour n=0,1,2,.. et on va vite voir ce qu'il se passe.

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Lostounet
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Re: Nombre de racines d'un polynôme

par Lostounet » 10 Aoû 2017, 21:48

MJoe a écrit:Bonjour,

La formule de Pn(x) est la suivante si j'ai bien compris :


Lorsque n tend vers l'infini, cela devrait vous faire penser à une fonction bien connue (dont la courbe représentative ne coupe jamais l'axe des abscisses).

MJoe.


Salut MJoe,
Il me semble que cet argument ne permet pas de conclure..?

En effet le polynôme P = 1 + x + x^2/2 + x^3/6 possède une racine réelle (tout comme tout polynôme de degré impair). (D'ailleurs il me semble que le zéro recule vers -l'infini au fur et à mesure qu'on converge vers l'exponentielle? je me suis jamais posé la question d'une extraction éventuelle d'une suite de zéros monotone )..

Donc à la limite il n'y a pas de zéros mais entre temps si...
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aviateur
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Re: Nombre de racines d'un polynôme

par aviateur » 10 Aoû 2017, 23:04

Oui converge simplement vers l'exponentielle mais pas uniformément.
En fait
Et de plus un polynôme impair a toujours au moins une racine réelle.

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Re: Nombre de racines d'un polynôme

par MJoe » 11 Aoû 2017, 06:42

Lostounet a écrit:
MJoe a écrit:Bonjour,

La formule de Pn(x) est la suivante si j'ai bien compris :


Lorsque n tend vers l'infini, cela devrait vous faire penser à une fonction bien connue (dont la courbe représentative ne coupe jamais l'axe des abscisses).

MJoe.


Salut MJoe,
Il me semble que cet argument ne permet pas de conclure..?

En effet le polynôme P = 1 + x + x^2/2 + x^3/6 possède une racine réelle (tout comme tout polynôme de degré impair). (D'ailleurs il me semble que le zéro recule vers -l'infini au fur et à mesure qu'on converge vers l'exponentielle? je me suis jamais posé la question d'une extraction éventuelle d'une suite de zéros monotone )..

Donc à la limite il n'y a pas de zéros mais entre temps si...



Bonjour,
Exact, cela ne permet pas de conclure, je suis allé un peu vite ! :oops:
MJoe.

Paul1908
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Re: Nombre de racines d'un polynôme

par Paul1908 » 11 Aoû 2017, 13:57

pascal16 a écrit:j'avais pas vu la factorielle
C'est le DL à l'ordre n de e^x, mais ça ne nous donne pas la réponse

sur R+, Pn(0)=1 et Pn est la somme d'un fonction constante et de fonctions strictement croissantes. Pn(x) est donc strictement croissante et vaut 1 en 0, Pn est donc strictement positive sur R+ et n'y admet donc pas de racine.

je pense que tu as tracé quelques courbes et pour n impair on a 1 zéro et n pair un minimum. Je tenterais une récurrence


Bonjour,
Tout d'abord merci à tous pour vos réponses et merci de prendre le temps de me répondre .
pascal16, je ne comprends pas très bien. Qu'est ce que cela signifie si Pn est strictement croissante et positive ? Elle ne coupe pas l'axe des abscisses.. ce qui veut dire qu'il n'y à pas de racines ??? Je ne comprends pas...

Merci

NicoTial
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Re: Nombre de racines d'un polynôme

par NicoTial » 11 Aoû 2017, 14:18

Paul1908 a écrit:
pascal16 a écrit:j'avais pas vu la factorielle
C'est le DL à l'ordre n de e^x, mais ça ne nous donne pas la réponse

sur R+, Pn(0)=1 et Pn est la somme d'un fonction constante et de fonctions strictement croissantes. Pn(x) est donc strictement croissante et vaut 1 en 0, Pn est donc strictement positive sur R+ et n'y admet donc pas de racine.

je pense que tu as tracé quelques courbes et pour n impair on a 1 zéro et n pair un minimum. Je tenterais une récurrence


Bonjour,
Tout d'abord merci à tous pour vos réponses et merci de prendre le temps de me répondre .
pascal16, je ne comprends pas très bien. Qu'est ce que cela signifie si Pn est strictement croissante et positive ? Elle ne coupe pas l'axe des abscisses.. ce qui veut dire qu'il n'y à pas de racines ??? Je ne comprends pas...

Merci


Attention, ce raisonnement ne marche que sur les réels positifs, donc pour l'instant tu ne peux pas conclure...

samoufar
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Re: Nombre de racines d'un polynôme

par samoufar » 11 Aoû 2017, 14:34

Bonjour,

D'abord, as-tu réussi à conjecturer le résultat ? Si la réponse est non, je te renvoie à ce qu'a dit aviateur précédemment (regarde ce qui se passe pour n=0,1,2,3,4,...).

Si la réponse est oui, il est judicieux de procéder par récurrence (peut-être même double), sachant que, comme l'a dit aviateur, il y aura une distinction selon la parité de n.

Indication: le cas n pair sera sans doute le plus délicat :)

Paul1908
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Re: Nombre de racines d'un polynôme

par Paul1908 » 11 Aoû 2017, 15:02

Donc je peux conclure sur R+, ça c'est ok .
Sur R- si je comprends bien, -1 peut être racine en fonction de la parité de n
Si n est pair -1 n'est pas racine, et -1 est racine si n est impair..
C'est ce que je dois montrer par une récurrence ?

Cela me permet de conclure sur le fait que -1 est racine si n est impair mais pas de determiner le nombre de racine réelles ..?

samoufar
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Re: Nombre de racines d'un polynôme

par samoufar » 11 Aoû 2017, 15:36

Paul1908 a écrit:Si n est pair -1 n'est pas racine, et -1 est racine si n est impair..
C'est ce que je dois montrer par une récurrence ?

Attention, il y a des factorielles.

pascal16 a pratiquement donné la réponse :
pascal16 a écrit:je pense que tu as tracé quelques courbes et pour n impair on a 1 zéro et n pair un minimum.

Il faut juste connaître évalué en ce fameux minimum (par exemple, le signe). Ça se voit si tu traces quelques courbes ;)

Paul1908
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Re: Nombre de racines d'un polynôme

par Paul1908 » 11 Aoû 2017, 16:00

:roll: :roll: Je suis désolé mais je suis perdu

J'ai donc tracé quelques courbes, lorsque n est pair j'ai une fonction strictement positive avec un minimum.
Si je prouve que cette fonction a un minimum (ce que je ne vois pas comment faire par ailleurs..) alors elle ne coupe pas l'axe des abscisses elle n'a donc pas de zéro et donc le polynôme n'a aucune racine.

Si n est impair je dois montrer que la fonction coupe l'axe des abscisse une fois (peut être le TVI..) mais la récurrence, où est ce que je l'utilise ?
Je dois donc faire dans la récurrence, le TVI ?

Un peu paumé...

samoufar
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Re: Nombre de racines d'un polynôme

par samoufar » 11 Aoû 2017, 16:28

Le tracé de courbes permet donc de conjecturer le résultat à montrer:

Pour tout k∈N, P_{2k} n'admet pas de racines (et est* même >0), et P_{2k+1} admet une unique racine.


Maintenant que j'y repense, il n'y a pas vraiment besoin de récurrence.

On traite d'abord le cas n pair (n=2k):
possède un minimum car il s'agit d'une fonction* continue tendant vers +∞ en ±∞ ; notons un réel qui minimise . (si l'on avait procédé par récurrence, on aurait même obtenu l'unicité de ce minimum). L'objectif est alors, comme tu l'as dit, de montrer que , et le résultat en découle.

On traite ensuite le cas n impair (n=2k+1):
• Pour , il faut effectivement utiliser le TVI, auquel s'ajoute le point précédent, afin de conclure.


* je confonds volontairement polynôme et fonction polynomiale

Paul1908
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Re: Nombre de racines d'un polynôme

par Paul1908 » 11 Aoû 2017, 16:38

Ok, je crois que je comprends,

D'abord, pour distinguer polynôme et fonction polynomiale, je peux poser une fonction que je peux utiliser pour la suite.

Pour le cas n pair :
Il doit y avoir un lien avec la dérivée qui s'annule en m ...
Mais je ne peux pas plus simplement dire que la fonction est strictement positive montrant que la fonction est croissante ?

Pour le cas n impair :
Je peux utiliser un point à droite en x=0,
Mais quel point utiliser à gauche sachant que plus n est grand plus le zéro sera petit..

Merci

samoufar
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Re: Nombre de racines d'un polynôme

par samoufar » 11 Aoû 2017, 17:16

D'abord, pour distinguer polynôme et fonction polynomiale, je peux poser une fonction que je peux utiliser pour la suite.

D'accord, mais c'est un détail :)

Mais je ne peux pas plus simplement dire que la fonction est strictement positive montrant que la fonction est croissante ?

C'est difficile d'avoir une fonction croissante qui tend vers en .

Il doit y avoir un lien avec la dérivée qui s'annule en m ...

Oui. Pour cela, est-ce que tu peux écrire très simplement en fonction de sa dérivée ?
(indice: tu as une autre expression de la dérivée, cf ton 2ème post)

Pour le cas n impair, tu n'as pas vraiment besoin de points (sauf si tu veux vraiment écrire tout super rigoureusement). Il suffit de montrer que est strictement croissante. Pour cela tu regardes... le signe de sa dérivée ;)

Paul1908
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Re: Nombre de racines d'un polynôme

par Paul1908 » 11 Aoû 2017, 17:47

samoufar a écrit:
Paul1908 a écrit:Mais je ne peux pas plus simplement dire que la fonction est strictement positive montrant que la fonction est croissante ?

C'est difficile d'avoir une fonction croissante qui tend vers en .


J'ai oublié bien sûr, "montrant que sa dérivée est croissante"

Ok, je vais essayer de travailler là-dessus, merci beaucoup !
Je reviendrais vers vous si j'ai plus de questions.

pascal16
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Re: Nombre de racines d'un polynôme

par pascal16 » 12 Aoû 2017, 11:51

J'ai regardé d'un peu plus près,
initialisation : triviale

cas n pair :
P'_n=P_{n-1}
P"_n=P_{n-2}

donc pour n pair, on a :
P"_n=P_{n-2}
or P_{n-2} >0 par récurrence
donc P_{n-1} strictement croissant -> unicité de la racine -> existence de la racine par les limites

maintenant, on a P'_n=P_{n-1} a une seule racine r, de plus r <> 0
P'_n(r)= P_{n-1}(r)=0
P_n(r) =P_{n-1}(r)+r^n/n!= r^n/n
mais n est pair et r <>0 donc P_n(r) >0

la récurrence sur n pair démontre ce qu'on veut pour n pair et n impair

 

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