[probas] nombre de doublons dans un tirage avec remise

[alpirine]

Bonjour,

J'ai un tas de 100 boules numérotées de 1 à 100. Je fais 50 tirages au hasard avec remise. Je tire une boule, je note son numéro, je la remets dans le tas, je mélange, et je répète l'opération 50 fois.

J'obtiens une suite de numéros. J'aimerais savoir combien, en moyenne, il y a des doublons. Par exemple, si un nombre apparaît 2 fois, il constitue 1 doublon. S'il apparaît 3 fois, il y a 2 doublons, et ainsi de suite.

Par exemple :

11, 22, 64, 16, 88, 52, 56, 2, 48, 93, 86, 57, 88, 95, 46, 52, 51, 66, 93, 7, 71, 78, 63, 51, 43, 18, 15, 84, 78, 15, 45, 99, 35, 69, 49, 61, 82, 54, 68, 38, 71, 32, 94, 13, 25, 92, 31, 78, 61, 88

En triant les résultats, j'obtiens :

11, 13, 15, 15, 16, 18, 2, 22, 25, 31, 32, 35, 38, 43, 45, 46, 48, 49, 51, 51, 52, 52, 54, 56, 57, 61, 61, 63, 64, 66, 68, 69, 7, 71, 71, 78, 78, 78, 82, 84, 86, 88, 88, 88, 92, 93, 93, 94, 95, 99

J'ai surligné en gras les doublons.

Dans ce cas particulier il y en a donc 10.

Mais de manière générale, si je fais n tirages avec m boules, combien de doublons j'obtiendrais en moyenne ?

Merci beaucoup,

Alexandre

[Sylviel]

Bonjour,

je doute qu'une formule close soit trouvable, en revanche cela doit pouvoir se calculer par récurrence
(chaîne de Markov en réalité). Si tu as m numéro, et k sont déjà sortis. Quel est la proba que la boule
suivante soit un doublon ?