Nombre de l.c.i dans un ensemble à n éléments

[Aldebaran]

Bonjour à tous ! :mur:
Je suis devant un petit problème d'algèbre et même si le sens de ce que je suis en train de lire s'insinue peu à peu en moi, j'ai parfois du mal à visualiser les choses...
Ma question est la suivante :
Soit E un ensemble à n éléments. Comment dénnombrer le nombre de l.c.i de ExE dans E, et surtout est-il possible de schématiser le problème ? (j'ai la réponse, mais ce qui me gêne c'est que je ne la comprend pas !!!).

D'avance merci. :++:

[phenomene]

Bonjour,

Il s'agit de dénombrer le nombre d'applications de dans , où est un ensemble à éléments.
Une application est entièrement déterminée par le choix de l'image de chaque élément de l'ensemble de départ. Or, pour chaque élément de l'ensemble de départ, on a choix possibles pour son image, si bien que le nombre d'applications de dans est , en notant le nombre d'éléments du produit cartésien (il s'agit de dénombrer les listes avec remise de éléments choisis parmi ).
Maintenant, le produit cartésien contient éléments (nombre de listes avec remise de éléments choisis parmi ). On a donc .
Finalement, le nombre de lois de composition internes recherché est donc .

[Aldebaran]

Tout m'est devenu compréhensible grâce à la phrase : " Une application est entièrement déterminée par le choix de l'image de chaque élément de l'ensemble de départ." Phrase que je n'ai jamais vu apparaitre dans aucun des livres que je consulte.
Mais y'a-t-il un moyen de schématiser le problème ?
Par exemple, si on prend un ensemble E à deux éléments, on doit pouvoir déterminer 2^4=16 l.c.i. Dès lors, supposons que l'on veuille faire un schéma de cette situation, comment peut-on s'y prendre ?

[N_comme_Nul]

Salut !

Pour cette situation particulière, je te propose :

La lci, je l'ai appelé T, les deux éléments de E : X et Y.

Lire :
[INDENT]XTX=X ou Y : deux choix.[/INDENT]
Ce choix étant fait, encore deux choix pour XTY :
[INDENT]XTY=X ou Y[/INDENT]
soit 2x2=4 choix.
Ce choix étant fait ...
[INDENT]YTX=X ou Y ... 4x2=8 choix.[/INDENT]
Ce choix étant fait ...
[INDENT]YTY=X ou Y ... 8x2=16 choix.[/INDENT]

[Aldebaran]

Merci bien. Je crois qu'en fait ce qui me gêne c'est la compréhension des notions de relation et d'application dans le sens où je n'arrive pas à m'en faire une image mentale.

[N_comme_Nul]

Salut !

En gros, tu as deux paquets (ensembles) , un que l'on appelle ensemble de départ, disons D, et l'autre ensemble d'arrivée, disons A. (on a aussi "source" et "but" respectivement)

Créer une application de D vers A c'est associer à chaque élément de D un seul élément de A ... pense ensuite à l'écriture.

Exemple : si l'on appelle f une application de D vers A que l'on souhaite créer. Tu prends un élément dans D, appelons-le d. Tu veux lui associer un certain élément de A, disons a.
Ceci, tu vas l'écrire f(d)=a (ou bien encore f:da). Tu n'aurais pas idée d'associer à d deux éléments distincts a et a'. Comment alors écrire f(d)= ??? D'où l'unicité de l'image pour un élément donné.

Rien ne t'interdit, par contre, pour une application de D vers A que plusieurs éléments (distincts) de D s'envoient sur un même élément de A.
Ex : la fonction carrée associe aux deux réels 2 et -2 le même réel 4. (on dit qu'elle n'est pas injective sur ).

Note aux webmasters : le "\mapsto" ne passe pas.

[Aldebaran]

Créer une application de D vers A c'est associer à chaque élément de A un seul élément de A ... pense ensuite à l'écriture.
Où est passé l'ensemble D ? (tu voulais peut-être dire : associer à au moins un élément de A, au plus un élément de D)

[N_comme_Nul]

Oups, erreur de frappe. Je vais corriger sur le post original.