Nombre complexe

[apjsl]

bonjour

J'ai quelques soucis avec une question de mon DM ce qui m'empeche de le continuer :(
Pour faire bref le DM est composé de 2 parties indépendantes et dans la 2eme partie on considere la suite complexe (Zn) définie par Zo= a et a complexe (tel que Zo= a = Ro*exp(i téta0) avec téta réel et Ro>0) et
Z(n+1)=(1/2)*(Zn+|Zn|)

Il a fallu montrer que quel que soit n entier naturel Zn>0 (donc Zn= Rn* exp[i téta(n)>0] puis que Téta(n+1)=[Téta(n)]/2 et
R(n+1)*sin(téta(n+1))=(1/)*Rn*sin(téta(n)).

Il faut désormais donner l'expression de Rn en fonction de Ro et n et là je suis completement bloqué car en utilisant le fait que:
Téta(n+1)=téta(n)/2 et le fait que:
sin(téta n)= sin[2*(téta n)/2]=2*sin[(téta n)/2)*cos[(téta n)/2]
j'obtiens: R(n+1)=Rn*cos[(téta n)/2]

merci d'avance

[girdav]

Bonjour.
Je ne sais pas ce qu'est un nombre complexe positif.
Je suis arrivé à la relation donc la suite est géométrique.

[mathelot]

bonjour,

quelques techniques de base:

un nombre complexe non nul s'écrit:


dans une expression

mettre en facteur l'exponentielle de l'arc moitié
pour faire apparaitre la forme trigonométrique:

[apjsl]

la derniere me pose vraiment probleme car girdave tu dis que la suite (Rn*sin(téta n)) est une suite géométrique donc:
Rn*sin(téta n)= (1/2)exposant n * Ro*sin(téta 0) ?

[la question d'apres est de déterminer la limite de la suite (Zn);
or j'ai trouvé que (téta n)= (téta 0)* (1/2)exposant n donc la limite est 0 or Zn=Rn* exp(i téta n) donc lim Zn= lim Rn]

J'en déduis donc qu'il faut exprimer Rn en fonction de n et Ro et le probleme est qu'il faudrait se débarraser du sinus, non?
(Au brouillon en utilisant la formule de marthelot et en égalisant les modules que: R(n+1)=Rn*cos((Téta n)/2) mais je n'arrive tjrs pas à en déduire l'expression en fonction de n et Ro)

en tout cas merci bcp pr les formules car elles m'ont faciliter les calculs pour un autre TD de maths ;)

[girdav]

Tu as une expression en fonction de et tu as trouvé la valeur de en fonction de et de donc il ne reste qu'à remplacer. Je ne sais pas si le module de ne dépend que de , à mon avis doit intervenir.

[apjsl]

ah ok et donc du coup la limite de Zn est Ro si je ne me trompe pas?

La derniere question est "montrer qu'il existe une infinité de valeur de a [rappel Zo=a=Ro*exp(i*(Téta 0))] pour lesquelles la suite converge vers 1"

Du coup: Ro=1 et a=Zo=exp (i téta 0)
pour cette question je pense avoir trouvé la solution mais en tout cas merci pour les conseils :)

(juste une question pour marthelot j'ai pas trouvé dans mon cours la derniere "formule" que tu ma donnée alors je me demandais comment on l'a trouvait ou démontrait)

en tout merci bcp :)

[mathelot]

en passant aux modules:



les modules forment une suite positive décroissante, donc convergente



progression géométrique de raison



à cause de l'inégalité

a une limite.

donc la suite converge vers un point de l'axe réel d'abscisse
positive ou nulle.

[apjsl]

merci bcp (mais je parlais de la formule Z= 1+ exp(i téta) = 2exp(i*(téta n)/2))*cos((téta n)/2) mais bon en fait en développant j'ai compris comment la retrouver^^)

merci