Nombre d'applications surjectives de In* vers Ip* :Sn.p

[Anonyme]

au cours d'un gentil petit dm de math j'ai rencontré des difficultés avce cete question :

montrer que pour tout n et p supérieur a 2

S(n.p)= p S(n-1.p) + p S(n-1.p-1)

j'ai essayé la récurrence mais je bloque a l'hérédité , j'ai essayé de trouver un rapport avce pascal mais sans succes , je suis passé aux factoriels en posant
S(n.p) = (n-1 parmi p-1) .... mais rien n'a marché

je me suis planté ? je fais n'importe quoi? je suis pommé?

svp aidez moi je commence a désespérer

merci d'avance et bonnes vacances ...

[Zeitblom]

On fixe x0 dans ton ensemble de départ E. On prend f une surjection de E dans l'ensemble d'arrivée F. f(E\{x0}) a nécessairement p ou p-1 éléments.
1er cas : il y en a p. On peut voir f comme une surjection de n-1 dans p, et on peut envoyer x0 n'importe où. Il y a donc p*S(n-1,p) possibilités
2eme cas : il y en a p-1. Alors obligatoirement, pour avoir une surjection, on doit avoir f(x0)=l'élément qui n'est pas dans f(E\{x0}), et f restreint à E\{x0} est alors une surjection de n-1 dans p-1. Comme il y a p tels f(E\{x0}) possibles, cela fait p*S(n-1,p-1) telles surjections.
Au final, on en a bien p*(S(n-1,p-1)+S(n-1,p))

[Anonyme]

merci beaucoup ... a vouloir faire trop compliqué ....
je m'incline devant tant de clarté

bonnes vacances