Nilpotence et matrice

[jonses]

Bonjour ou bonsoir,


J'essaye de faire un exercice sur les matrices et la nilpotence, mais je suis bloqué à la dernière question


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Soient deux matrices de

On suppose que l'ensemble contient au moins n+1 éléments (1)


Je dois montrer que et sont nilpotentes


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On avait montré juste avant que toute matrice est nilpotente si et seulement si


J'ai essayé de transcrire l'hypothèse (1) sous forme de n+1 systèmes à p équations en utilisant ce qu'on a démontré juste avant concernant la nullité des traces et la nilpotence, mais je me suis empêtré dans des calculs compliqués et inefficaces.
Sinon, j'ai essayé de voir si je pouvais montrer que A et B sont semblables à une matrice triangulaire supérieure stricte, mais là non plus je n'avance pas vraiment


Si quelqu'un peut m'aider svp.
Je vous remercie d'avance pour vos réponses

[Ben314]

(re-re-re) Salut,

Pour tout est un polynôme de degré p qui admet n+1>p racines donc...

[jonses]

Ce polynôme est donc nul, et en regardant bien ses coefficients, un des coefficient est (c'est celui de ) et un des coeff est (c'est celui de )
ils doivent en particulier être nuls, et donc ok !

Merci beaucoup ! (qu'est ce que c'est puissant les polynômes !)