Nilpotence dans un anneau
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Lostounet
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par Lostounet » 04 Sep 2014, 18:55
Hello,
Considérons (A, + , x) un anneau non trivial. Je suppose a, b éléments nilpotents de A qui commutent.
Je dois d'abord montrer que a + b et ab sont nilpotents.
Je ne sais pas si c'est bon:
Il existe n,m dans N* tq:
Deux cas se présentent. Soit m > n soit n n, alors il existe p>0 tel que m = n + p
J'ai fait le produit en faisant apparaitre du
vu que c'est commutatif je peux faire ça, puis j'ai exhiber un b^-p en produit pour trouver donc que (ab) nilpotent.
Est-ce que c'est bon?
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DamX
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par DamX » 04 Sep 2014, 19:33
hello,
c'est presque trop compliqué selon moi.
a et b commutent donc élever ab à une puissance k se fait classiquement (ab)^k = a^k.b^k
Il ne reste plus qu'à bien choisir k pour être sur que ça s'annule, je te laisse voir ce qui convient, c'est pas bien compliqué.
Quant à a+b, comme a e tb commutent la formule du binome s'applique et encore une fois il faudra bien choisir la puissance.
Damien
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Lostounet
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par Lostounet » 04 Sep 2014, 21:06
Peut-être que je peux choisir un multiple de n et de m !
k = mn
Je prends donc
Comme a^n = 0 et b^m = 0, je peux choisir k = mn
?
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DamX
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par DamX » 04 Sep 2014, 21:08
Lostounet a écrit:Peut-être que je peux choisir un multiple de n et de m !
k = mn
Pour ab ? Oui ça va marcher, m'enfin il y a aussi beaucoup plus petit comme puissance possible !
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Lostounet
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par Lostounet » 04 Sep 2014, 21:15
Je ne vois pas?
Pour le (a + b)^n nilpotent, je vais utiliser le binome de Newton:
Heu je dois essayer de trouver une somme nulle. J'ai pensé à multiplier par
Comme ça je fais apparaitre du (ab)^n en somme, que je peux supposer nul... Un peu bourrin et bête.
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DamX
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par DamX » 04 Sep 2014, 21:30
Lostounet a écrit:Je ne vois pas?
Pour le (a + b)^n nilpotent, je vais utiliser le binome de Newton:
Heu je dois essayer de trouver une somme nul. J'ai pensé à multiplier par
Comme ça je fais apparaitre du (ab)^n en somme, que je peux supposer nul... Un peu bourrin et bête.
pas besoin de multiplier ou de gérer des puissances négatives. Quand tu as des termes
, quelles conditions mettre sur n pour etre sur que chacun de ces termes soit nul ? sous-entendu pour que ces termes soit nul il faut
ou
, c'est à dire soit n-k >= p (je renote p l'indice de nilpotence de a), ou bien k >= m (indice de nilpotence de b).
Comment prendre le n pour garantir ça pour tous les k ?
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Pour revenir au cas (ab)^k = a^kb^k, tu vois que prendre k = min(p,m) va suffire pour que soit a^k soit nul ou bien b^k soit nul, mais ton k=mp marchait aussi à fortiori
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Lostounet
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par Lostounet » 04 Sep 2014, 21:32
Hmm...
On veut donc ces deux conditions: n - p>= k >= m ?
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jlb
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par jlb » 04 Sep 2014, 21:36
Lostounet a écrit:Hmm...
On veut donc ces deux conditions: n - p>= k >= m ?
bonsoir, écris plutôt n>k+p et k>m donc n>...
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Lostounet
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par Lostounet » 04 Sep 2014, 21:42
n > m + p..? On cherche des conditions sur n alors
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jlb
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par jlb » 04 Sep 2014, 21:48
Lostounet a écrit:n > m + p..? On cherche des conditions sur n alors
c'est ça!! tu prends n=m+p , pour k tel que 0=m les puissances de a sont nulles ( ou vice versa, j'ai trop lu )
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deltab
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par deltab » 05 Sep 2014, 14:42
Lostounet a écrit:Je ne vois pas?
Pour le (a + b)^n nilpotent, je vais utiliser le binome de Newton:
Heu je dois essayer de trouver une somme nulle. J'ai pensé à multiplier par
Comme ça je fais apparaitre du (ab)^n en somme, que je peux supposer nul... Un peu bourrin et bête.
Eviter
et
,
et
sont déjà réservés
Considérer plutôt (a+b)^p.
(a+b)^p=\sum_{k=0}^p {p \choose k}a^{p-k}b^k.
Si pour tout
l'un des facteurs a
ou
est nul, alors
,
il suffit pour cela que
et ce qui donne
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