Négation d'une proposition et démonstration

[smartynina]

Bonjour,

J'ai trois petites choses à vous demander. :zen:

La première est de me donner la négation de cette proposition :


" Il existe y appartenant à A ( un anneau) tel que pour tout x appartenant à A x*y ou y*x soit égale à zéro. "

Si c'est possible d'avoir aussi le formalise logique.


La deuxième chose est la démonstration d'une proposition :

" Les idéaux d'un anneau ne contiennent pas d'éléments inversibles."

Et la troisième et de me dire si cette proposition

" Dans un anneau : l'ensemble des non diviseurs de zéro = à l'ensemble des éléments inversibles. "

est juste ou non et de me dire comment le démontrer.

Merci d'avance :happy2:

[Doraki]

la négation de "pour tout x, P(x)" est "il existe x tel que non P(x)"
et celle de "il existe x tel que P(x)" est "pour tout x, non P(x)".

Ton énoncé ne précise pas le statut de A donc je suppose que A est un anneau fixé :
La négation de "il existe x de A tel que, pour tout y de A, (xy=0) ou (yx=0)"
est "pour tout x de A, il existe y de A tel que, (xy est différent de 0) et (yx est différent de 0)".

Ta deuxième proposition est mal formulée, l'anneau A lui-même est un idéal de A et il contient des inversibles.
Tu veux peut-être montrer que si un idéal de A contient un inversible alors cet idéal est A tout entier.

Ta troisième proposition est fausse. Z est un anneau (intègre), 2 ne divise pas 0, mais 2 n'est pas inversible.

[Joker62]

Haileau

Suffit de comprendre le sens de la phrase proposée.

Ici, il existe au moins un y dans A tel que si je prend n'importe quel x dans A alors x*y ou y*x soit égale à 0

Une négation de il existe, c'est pour tout
Une négation de pour tout, c'est il existe
Une négation de OU c'est ET
Une négation de = c'est != (différent)

Après faut être soi-même deux secondes logique.

La deuxième question il manque certainement le mot "propre" parce que A est un idéal et il contient évidemment des éléments inversibles.
Pour en faire la démo, revenir à la base : les définitions

Un élément y est inversible quand il existe un x dans A tel que y*x = y*x = 1
On se donne donc un idéal propre I de A qui contient un élément inversible
Trouve une contradiction ( Désolé Léon :p )
Ou bien en preuve directe, prend un Idéal non nul qui ne contient pas l'unité et montre qu'aucun élément n'est inversible ( De rien Léon :) )

Edit : Grilled :p
Edit2 : Orthographe :)

[Doraki]

On se donne donc un idéal propre I de A qui contient un élément inversible
Trouve une contradiction ( Désolé Léon :p )
Ou bien en preuve directe, prend un Idéal non nul qui ne contient pas l'unité et montre qu'aucun élément n'est inversible ( De rien Léon )

Tu ne pourras pas échapper à un raisonnement par l'absurde si tu veux prouver que
"si A n'est pas contenu dans I alors I ne contient pas d'inversible" (un énoncé d'ailleurs plein de négations)
En revanche, la preuve de la contraposée "si I contient un inversible alors I contient A" se fait sans raisonnement par l'absurde.

[Joker62]

Ah oui en effet.
J'avais pensé faire le raisonnement sans absurde dans la tête mais ça doit tellement être courant chez moi que j'ai zappé :D

La contraposée est en effet beaucoup plus simple :) et directe qui plus est.