Necessité de la commutativité pour la somme directe

[RadarX]

Bonjour,

On definit de maniere naturelle le groupe produit (Gi)i€I ou chaque Gi est un groupe.
Quelqu'un sait-il pourquoi a-t-on besoin de la commutativité des Gi pour definir le sous groupe "somme directe des Gi" +(Gi)?
Je rappelle que le sous groupe "somme directe" est l'ensemble des (xi)i€I tels que xi est neutre sauf pour un nombre fini de i.


Merci à toutes et tous.

[jose_latino]

Bonsoir,
C'est vrai, tu peux former un groupe de la façon que tu indiques. :zen: C'est pas nécessaire que les groupes soient abéliens. Mais le mot "somme" s'utilise normalement pour les groupes abéliens.

[RadarX]

Bonsoir,
C'est vrai, tu peux former un groupe de la façon que tu indiques. :zen: C'est pas nécessaire que les groupes soient abéliens. Mais le mot "somme" s'utilise normalement pour les groupes abéliens.

Après une petite recherche, je pense que ce soit plus subtil que ca.
Il me semble qu'en realité la definition de somme directe n'est faite que pour des K-modules (Mi)i€I. Or la definition de la somme directe de sous-groupes Gi n'est faite que, entendu qu'ils sont des Z-modules; ce qu'ils ne sont que si les Gi sont abeliens.
En resumé: un groupe n'est pas forcement un Z-module , mais un groupe abelien l'est naturellement.

Merci quand meme José.

[jose_latino]

Normalement ce groupe s'appelle produit "extérieur direct". Mais la construction est valide.
À bientôt!