Natures d'intégrales

[Arthuroua]

Bonjour,
Je suis en pleine révision pour mes futures examens, et j'ai une question à vous poser. Comment fait-on pour déterminer la nature de ces trois intégrales ?

1) Intégrale de 0 à 1 de Arctan(t)/(t^2) dt
2) Intégrale de 1 à +infini de Arctan(t)/(t^2) dt
3) Intégrale de 0 à +infini de (racine de t )/(1+t^2) dt

Merci pour votre aide.

[mathelot]

Bonjour,
Je suis en pleine révision pour mes futures examens, et j'ai une question à vous poser. Comment fait-on pour déterminer la nature de ces trois intégrales ?

1) Intégrale de 0 à 1 de Arctan(t)/(t^2) dt
le problème se pose en t=0.
Comme l'intégrande est de signe constant au voisinage de 0, on peut prendre les équivalents:
arctan(t)/t^2 ~ t/t^2 ~ 1/t
1/t n'est pas localement intégrable en t=0. L'intégrale est divergente.

2) Intégrale de 1 à +infini de Arctan(t)/(t^2) dt
le problème se pose en +infini.
Arctan(t)/(t^2) est majorée par qui est intégrable.
L'intégrale est convergente

3) Intégrale de 0 à +infini de (racine de t )/(1+t^2) dt
le problème se pose en l'infini: l'intégrande est équivalente à t^{-3/2} qui est intégrable
donc l'intégrale est convergente
Merci pour votre aide.

[Arthuroua]

Merci beaucoup