Nature d'une série

[MatthieuPablo]

Bonjour,
voici l'énoncé de mon exercice:


Au départ je pensais avoir directement montré en utilisant la règle d'Alembert (et un théorème de la bijection) que puisque tend vers un réel alors la série de terme général converge cependant cela ne marche pas pour .

Alors pour tenter de le résoudre j'ai commencé par montrer que tendait vers 0 (en utilisant les résultats précedents).
Pour la suite, mon professeur m'a donné une piste et m'a dit d'utiliser le développement limité en 0 de afin de trouver la bonne valeur du réel tel que converge vers une constante non nulle afin de conclure en utilisant Césaro.

Cependant voilà, j'ai beau avoir essayé de nombreuses pistes (DL avec Taylor-Young à l'ordre 1, quelconque etc..., d'expliciter la suite de différentes manières etc...) mais je bloque depuis longtemps
Voilà, si jamais vous pouviez m'aider je vous en serais très reconnaissant !
Merci bien d'avance et bonne journée.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

, donc

En utilisant le dl à l'ordre 1 de en 0, tu peux effectivement sans trop de peine trouver un équivalent de et conclure.

[tournesol]

Bel exo car on peut donc réduire les hypothèses à
f decroissante , strictement positive , dérivable en 0 , f'(0)<0 , f(0)=1 et x0>0 .

[MatthieuPablo]

Bonjour,

, donc

En utilisant le dl à l'ordre 1 de en 0, tu peux effectivement sans trop de peine trouver un équivalent de et conclure.

Bonjour, merci pour votre réponse !
Oui c'est en effet un chemin que j'ai débrousaillé, je trouve donc en équivalent de , donc à la puissance je trouve en faisant encore une fois un DL comme équivalent .
Alors j'obtiens et donc on prend et on a .
Ainsi on a qui converge vers .

Après si j'applique Césaro en simplifiant je trouve que .
C'est à dire que .
Je ne vois pas que faire de cela vis-à-vis de la série ?
Je pense que je me suis trompé ou que je cherche trop loin ? Car la seule chose que j'arrive à en tirer est le fait que si on étudie la série de terme général en utilisant d'Alembert on peut montrer (mais c'est laid, sachant que ) que sa série converge.
Alors puisque y est équivalent, sa série est de même nature que celle de donc elle converge ?
Cela me semble bien trop bancal...

Bel exo car on peut donc réduire les hypothèses à
f decroissante , strictement positive , dérivable en 0 , f'(0)<0 , f(0)=1 et x0>0 .

Oui, bel exercice mais je suis assez embêté d'être tant coincé face à celui-ci qui semble pourtant assez aisément résolvable...

Merci bien!

[GaBuZoMeu]

Attention, tu écris des choses très dangereuses !!!

je trouve en faisant encore une fois un DL comme équivalent .

Il y a un équivalent encore plus simple de en 0 : la constante 1 !!!
Il ne faut pas parler ici d'équivalent. Si tu le fais dans une copie, tu vas te faire dégommer grave par la personne qui corrige.
Tu écris , et surtout pas . Après, tu peux écrire en toute sécurité , et donc . Si tu étais parti sur un équivalent au début, tu serais amené à soustraire des équivalents, quelle horreur !

Effectivement ce calcul montre qu'il est intéressant de prendre . Ça nous dit que converge vers . Mais après tu te débrouilles mal avec ça. L'application de Cesaro suggérée par ton prof devrait te donner un équivalent de quand tend vers l'infini. Et avec ça tu es renseigné sur la nature de la série de terme général . Je te laisse reprendre le calcul.

[MatthieuPablo]

Attention, tu écris des choses très dangereuses !!!

je trouve en faisant encore une fois un DL comme équivalent .

Il y a un équivalent encore plus simple de en 0 : la constante 1 !!!
Il ne faut pas parler ici d'équivalent. Si tu le fais dans une copie, tu vas te faire dégommer grave par la personne qui corrige.
Tu écris , et surtout pas . Après, tu peux écrire en toute sécurité , et donc . Si tu étais parti sur un équivalent au début, tu serais amené à soustraire des équivalents, quelle horreur !

Effectivement ce calcul montre qu'il est intéressant de prendre . Ça nous dit que converge vers . Mais après tu te débrouilles mal avec ça. L'application de Cesaro suggérée par ton prof devrait te donner un équivalent de quand tend vers l'infini. Et avec ça tu es renseigné sur la nature de la série de terme général . Je te laisse reprendre le calcul.

Merci !

[GaBuZoMeu]

C'est un peu frustrant. Pourrais-tu nous dire ce que tu as conclu ? J'aimerais savoir si mes indications t'ont permis de mener à bien l'exercice.

[MatthieuPablo]

C'est un peu frustrant. Pourrais-tu nous dire ce que tu as conclu ? J'aimerais savoir si mes indications t'ont permis de mener à bien l'exercice.

Haha oui désolé !
On trouve alors avec le DL appliqué sur Césaro que (en faisant attention à ne pas soustraire dans les équivalents)
Or diverge vers l'infini car converge vers 0 et est une constante.
Donc on a , donc .
Donc la série de terme est de même nature que celle de terme .
Or on sait bien que la série harmonique diverge, donc la série de terme diverge, donc la série de terme diverge.

[GaBuZoMeu]

OK