Nature d'une intégrale

[lightone]

Bonsoir,
je dois déterminer la nature de l'intégrale sin(pi/x)/(x(1-x))^(3/2) dx sur l'intervalle [0, 1]

Au voisinage de 0, j'ai dit que c'était équivalent a (pi*x)/(x^3/2) = pi/x^(1/2) donc d'après Riemann, il ya convergence.
Est ce que cela vous parait bien?

Au voisinage de 1, je suis bloqué...

J'ai dit que c'est équivalent a sin(pi*x)/(1-x)^(3/2) mais après ça, je ne sais pas quoi faire...

Qu'en pensez vous? Merci.

[aviateur]

Bonjour En 1 le problème est le même quand 0 puisqueta fonction est "symétrique" par rapport à 1/2; i.e f(x)=f(1-x)
comme en zéro c'est OK en 1 aussi

[lightone]

Oui mais un raisonnement de ce genre ne me suffit pas. Il faut que je le prouve à la bêbete comme ci je ne l'avais pas fait au voisinage de 0

[Ben314]

Salut,

Au voisinage de 0, j'ai dit que c'était équivalent a (pi*x)/(x^3/2) = pi/x^(1/2)...

Sauf que... c'est complètement faux vu que lorsque x tend vers 0, t=pi/x tend vers +oo et sin(t) n'est absolument pas équivalent à t.

P.S. Dans l'énoncé, c'est sin(pi.x)/... ou bien sin(pi/x)/... ? (vu ce que tu écrit ensuite, ça donne l'impression que c'est pi.x sauf que ce que tu as écrit au début, c'est pi/x ...)

[lightone]

c'est sin(pi*x)/ .. Ca n'est pas faux puisque pi*x converge vers 0 quand x tend vers 0. Donc on peut utiliser le DL et c'est donc équivalent à pi*x pour le numérateur. Et pour le dénominateur, (1*(1-x))^(3/2) est bien équivalent a x^(3/2) puisqu'on peut remplacer l'un des x par 0 sans soucis. On a donc bien à la fin que c'est équivalent à (pi)/x^(1/2) et puisque 1/2 est strictement inférieur à 1, d'après Riemann et au voisinage de 0, ça converge.

[Ben314]

Si l'énoncé exact, c'est sin(pi.x)/... alors c'est O.K.
Sauf que c'est pas ça que tu as écrit dans ton post :

Bonsoir,
je dois déterminer la nature de l'intégrale sin(pi/x)/(x(1-x))^(3/2) dx sur l'intervalle [0, 1]

[aviateur]

Rebonjour

Oui mais un raisonnement de ce genre ne me suffit pas. Il faut que je le prouve à la bêbete comme ci je ne l'avais pas fait au voisinage de 0

A la "bêbete" j'espère que cela ne veut pas dire bêbete, c'est à dire mettre se mettre des oeillères. Car on fait des math non?
C'est à dire que l'on ne peut pas interdire toute solution pour en avoir une.

Bref tu fais ce que tu veux, tu a fais un dl en x=0 et puis tu veux faire de même en x=1.
Mais faire un DL en 1 est équivalent à faire un Dl u=0 en ayant posé u=1-x.
Tu te mets donc des oeillères et bêtement tu vas refaire le même travail!!!
C'est ça que tu veux??

[lightone]

Aviateur, pour avoir déja fait ce genre d'exo, c'est bien ta deuxième option qu'il faut faire. Par contre, dans le sinus, ça ne converge pas vers 1 mais vers pi au voisinage de 1 donc s'il fallait faire un changement de variable, ça ne serait pas celui là. D'ou mon problème car avec un changement de variable, ça ne marcherait pas.

[aviateur]

Je ne comprends ce que tu dis.
Ma deuxième option c'est la première, non?
tu poses x=1-u , donc f(x)=f(1-u)=f(u) et quand x tend vers 1, u tends vers 0.
Mais le DL de f en u=0, tu l'as déjà fait donc la nature de l'intégrale en x=1
est bien le même qu'en u=0.
Il n' y a pas 36 options. Le fait que f(x)=f(1-x) c'est une aubaine et tu ne peux pas y échapper?

[lightone]

J'ai déja fait plein d'exos où on devait travailler au voisinage de 0 et de 1 et on a jamais dit que comme au voisinage de 0 ça converge, au voisinage de 1, ça converge aussi. Et les seuls fois où on a fait un changement de variable, c'est lorsque qu'on avait sin(x) où x converge vers 1 mais que pour utiliser le DL, le x doit converger vers 0 donc on faisait le changement de variable. C'est tout.

[aviateur]

Bon! maintenant pour que l'on se comprenne on va faire des phrases intelligibles sinon c'est la galère.
Je répète : On sait que l'intégrale est convergente et que pour tout on a f(x)=f(1-x).
On en déduit donc que est convergente puisque le changement de variable dans conduit à