MPSI - Suites adjacentes et limites

[Anonyme]

Salut à tous,

J'ai deux suites Un = Somme{k=0 à n}(-1)^k / (2k!) et Vn = Un + 1 /
(4n+4)!

Je dois montrer que Un et Vn sont adjacentes (c'est fait) et que leur limite
commune est un irrationnel.

Je pense qu'il faut procéder par l'absurde, mais ensuite ?

--
Vincent,

[Anonyme]

Si Un tend vers un rationnel alors Vn tend vers le même rationnel.

Comme Un et Vn sont des sommes de rationnels, il existe un entier q tel que
qUn et qVn soient entiers pour tout entier n.

Donc q(Vn-Un) est un entier pour tout n...... (à toi de jouer pour aboutir à
la contradiction).



"Vincent Sprit" a écrit dans le message de
news:400ff8f9$0$28693$626a54ce@news.free.fr...
> Salut à tous,
>
> J'ai deux suites Un = Somme{k=0 à n}(-1)^k / (2k!) et Vn = Un + 1 /
> (4n+4)!
>
> Je dois montrer que Un et Vn sont adjacentes (c'est fait) et que leur
limite
> commune est un irrationnel.
>
> Je pense qu'il faut procéder par l'absurde, mais ensuite ?
>
> --
> Vincent,
>
>

[Anonyme]

Voilà une ébauche de raisonnement.

Supposons que (Un) tend vers un rationnel. Comme (Un) et (Vn) sont
adjacentes, alors lim Un = lim Vn. Il existe un entier q tel que q*Un et
q*Vn soient entiers pour tout entier n.

Il vient q(Vn - Un) est un entier P

q(Vn - Un) = P
q = P/(Vn-Un)

Puis je conclure en disant que Vn - Un ---> 0 et que c'est donc impossible ?

[Anonyme]

> adjacentes, alors lim Un = lim Vn. Il existe un entier q tel que q*Un et
> q*Vn soient entiers pour tout entier n.

ça sort d'où ?

[Anonyme]

Oui tu peux conclure.

Mais il aurait été préférable d'écrire :

q(Vn - Un) = P (j'utilise tes notations)

Comme (Vn - Un) tend vers 0 il existe m tel que pour tout n >m q(Vn - Un) <
q/2 donc pour k=m+1 on a:

q(Vk - Uk) n'est pas entier ce qui contredit l'hypothèse.





Ton message est :

Voilà une ébauche de raisonnement.

Supposons que (Un) tend vers un rationnel. Comme (Un) et (Vn) sont
adjacentes, alors lim Un = lim Vn. Il existe un entier q tel que q*Un et
q*Vn soient entiers pour tout entier n.

Il vient q(Vn - Un) est un entier P

q(Vn - Un) = P
q = P/(Vn-Un)

Puis je conclure en disant que Vn - Un ---> 0 et que c'est donc impossible ?

[Anonyme]

Julien cela vient de la consigne :

Soit deux suites Un = Somme{k=0 à n}(-1)^k / (2k!) et Vn = Un + 1
/(4n+4)! .....
Vincent a montré que ces deux suites sont adjacentes, et il souhaite montrer
que leur limite commune est un irrationnel.



L'idée de la démo est :

Comme Un est une suite de rationnels alors si Un tend vers un rationnel il
existe un entier q tel que q*Un soit entier...

J'espère t'avoir éclairé.



Cordialement

Ahmed




"Julien Santini" a écrit dans le message de
news:bupcrj$dlb$1@news-reader1.wanadoo.fr...[color=green]
> > adjacentes, alors lim Un = lim Vn. Il existe un entier q tel que q*Un et
> > q*Vn soient entiers pour tout entier n.
>
> ça sort d'où ?
>
>[/color]

[Anonyme]

> L'idée de la démo est :
>
> Comme Un est une suite de rationnels alors si Un tend vers un rationnel il
> existe un entier q tel que q*Un soit entier...
>
> J'espère t'avoir éclairé.
>

Ben 1/2^n est une suite de rationnels tendant vers un rationnel mais il
n'existe pas d'entier q tel que q*u_n entier pour tout n non ??
Comprends tjrs pas pourkoi c'est immédiat ... (bon je me suis enfilé qques
heures d'exams alors)

[Anonyme]

"Vincent Sprit" a écrit dans le message de
news:400ff8f9$0$28693$626a54ce@news.free.fr...
> Salut à tous,
>
> J'ai deux suites Un = Somme{k=0 à n}(-1)^k / (2k!) et Vn = Un + 1 /
> (4n+4)!
>
> Je dois montrer que Un et Vn sont adjacentes (c'est fait) et que leur
limite
> commune est un irrationnel.
>
> Je pense qu'il faut procéder par l'absurde, mais ensuite ?

autre méthode tu peux essayer donc par l'absurde et de tomber sur une
contradiction du type n
> --
> Vincent,
>
>[/color]

[Anonyme]

> Oui tu peux conclure.
>
> Mais il aurait été préférable d'écrire :
>
> q(Vn - Un) = P (j'utilise tes notations)
>
> Comme (Vn - Un) tend vers 0 il existe m tel que pour tout n >m q(Vn - Un)
q/2 donc pour k=m+1 on a:
>
> q(Vk - Uk) n'est pas entier ce qui contredit l'hypothèse.[/color]

J'ai du mal à saisir,

Pour k = m + 1 on a :
q(Vk - Uk) < q / 2

Et en quoi ce n'est donc pas un entier ?

[Anonyme]

>
> Et en quoi ce n'est donc pas un entier ?
>

La méthode de thn est celle "standard" pour cette forme de question. Ai tjrs
pas pigé d'où sort l'existence d'un tel q.

[Anonyme]

Sur le lien suivant la solution est claire :


http://ahmedkadi.free.fr/math_universite/reponses_forum/solution_suites_numeriques.pdf





"Julien Santini" a écrit dans le message de
news:bupg3f$s0m$1@news-reader1.wanadoo.fr...[color=green]
> >
> > Et en quoi ce n'est donc pas un entier ?
> >
>
> La méthode de thn est celle "standard" pour cette forme de question. Ai[/color]
tjrs
> pas pigé d'où sort l'existence d'un tel q.
>
>

[Anonyme]

>
http://ahmedkadi.free.fr/math_universite/reponses_forum/solution_suites_nume
riques.pdf
>

Là OK.
(Si les suites ne sont pas monotones alors faut montrer d'une façon ou d'une
autre que la limite existe (un argument sur le rayon de convergence d'une
certaine série entière fait parfaitement l'affaire)).

[Anonyme]

En effet on trouve que le rayon de convergence est infini.

"Julien Santini" a écrit dans le message de
news:butfph$79v$1@news-reader3.wanadoo.fr...[color=green]
> >
>[/color]
http://ahmedkadi.free.fr/math_universite/reponses_forum/solution_suites_numeriques.pdf[color=green]
> >
>
> Là OK.
> (Si les suites ne sont pas monotones alors faut montrer d'une façon ou[/color]
d'une
> autre que la limite existe (un argument sur le rayon de convergence d'une
> certaine série entière fait parfaitement l'affaire)).
>
>
>