MPSI inégalité de convexité

[Anonyme]

Bonjour,
Voici mon problème. Il s'agit de montrer que 1+x^a*y^b <= (1+x)^a*(1+x)^b
avec x,y,a,b stt positifs et a+b=1
Je suis passé au ln et en utilisant la concavité de ce dernier j'obtiens
d'un côté
x^a*y^b<=ax+by
et de l'autre côté (1+x)^a*(1+x)^b <= 1+ax+by (car a+b=1)
Evidemment cela ne permet pas de conclure. Et j'en suis à me demander si y a
pas erreur dans l'énoncé...
Merci d'avance.

[Anonyme]

Bonsoir

> Bonjour,
> Voici mon problème. Il s'agit de montrer que 1+x^a*y^b avec x,y,a,b stt positifs et a+b=1
> Je suis passé au ln et en utilisant la concavité de ce dernier j'obtiens
> d'un côté
> x^a*y^b et de l'autre côté (1+x)^a*(1+x)^b Evidemment cela ne permet pas de conclure. Et j'en suis à me demander si y
a
> pas erreur dans l'énoncé...
> Merci d'avance.

Tel que tu le donnes l'énoncé est faux [mais c'est juste une erreur de
frappe, il s'agit bien de:
1+x^a*y^b = 1+ax, (1+y)^b >= 1+by, d'où il vient:
(1+x)^a*(1+y)^b >= 1+ax+by+abxy >= 1+ax+by >= 1+x^a*b^y (par concavité de
ln), cqfd

--
Julien Santini

[Anonyme]

Merci beaucoup.
Loïc.

"Julien Santini" a écrit dans le message de
news: 41e58fef$0$19423$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> Bonsoir
>[color=green]
> > Bonjour,
> > Voici mon problème. Il s'agit de montrer que 1+x^a*y^b > avec x,y,a,b stt positifs et a+b=1
> > Je suis passé au ln et en utilisant la concavité de ce dernier j'obtiens
> > d'un côté
> > x^a*y^b > et de l'autre côté (1+x)^a*(1+x)^b > Evidemment cela ne permet pas de conclure. Et j'en suis à me demander si[/color]
y
> a[color=green]
> > pas erreur dans l'énoncé...
> > Merci d'avance.
>
> Tel que tu le donnes l'énoncé est faux [mais c'est juste une erreur de
> frappe, il s'agit bien de:
> 1+x^a*y^b Ton raisonnement est juste, mais comme c'est souvent le cas pour les
> inégalités, "pas assez fin", donc faut trouver autre chose, par exemple:
>
> (1+x)^a >= 1+ax, (1+y)^b >= 1+by, d'où il vient:
> (1+x)^a*(1+y)^b >= 1+ax+by+abxy >= 1+ax+by >= 1+x^a*b^y (par concavité de
> ln), cqfd
>
> --
> Julien Santini
>
>[/color]

[Anonyme]

Désolé. Je suis un peu lent, mais j'ai toujours un pb. (1+x)^a>=1+ax n'est
pas vrai si 0 a écrit dans le message de
news: 41e58fef$0$19423$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> Bonsoir
>[color=green]
> > Bonjour,
> > Voici mon problème. Il s'agit de montrer que 1+x^a*y^b > avec x,y,a,b stt positifs et a+b=1
> > Je suis passé au ln et en utilisant la concavité de ce dernier j'obtiens
> > d'un côté
> > x^a*y^b > et de l'autre côté (1+x)^a*(1+x)^b > Evidemment cela ne permet pas de conclure. Et j'en suis à me demander si[/color]
y
> a[color=green]
> > pas erreur dans l'énoncé...
> > Merci d'avance.
>
> Tel que tu le donnes l'énoncé est faux [mais c'est juste une erreur de
> frappe, il s'agit bien de:
> 1+x^a*y^b Ton raisonnement est juste, mais comme c'est souvent le cas pour les
> inégalités, "pas assez fin", donc faut trouver autre chose, par exemple:
>
> (1+x)^a >= 1+ax, (1+y)^b >= 1+by, d'où il vient:
> (1+x)^a*(1+y)^b >= 1+ax+by+abxy >= 1+ax+by >= 1+x^a*b^y (par concavité de
> ln), cqfd
>
> --
> Julien Santini
>
>[/color]

[Anonyme]

Loïc a écrit:
> Désolé. Je suis un peu lent, mais j'ai toujours un pb. (1+x)^a>=1+ax n'est
> pas vrai si 0 Ou qque chose m'échappe ?

Je me permets de revenir à l'énoncé original : tu veux montrer que :
1+x^a*y^b <= (1+x)^a*(1+x)^b

En prenant le logarithme de chaque côté on obtient :
ln(1+ e^(a*lnx+b*lny) <= a*ln(1+x)+b*ln(1+y)
ici l'"astuce" consiste à écrire à droite x = e^(lnx) et y = e^(lny), on
doit alors montrer :
ln(1+e^(a*lnx+b*lny) <= a*ln(1+e^lnx)+b*ln(1+e^lny)
soit en posant X = lnx et Y = lny
ln(1+e^(aX+bY)) <= a*ln(1+e^X) + b*ln(1+e^Y)
.... c'est plus clair ?

--
albert

[Anonyme]

> Désolé. Je suis un peu lent, mais j'ai toujours un pb. (1+x)^a>=1+ax n'est
> pas vrai si 0 Ou qque chose m'échappe ?

Voyons, on a: f(x) = (1+x)^a - 1 - ax; df(x)/dx = a*(1+x)^(a-1)-a, ce qui
est positif si x est positif (c'est le cas). Donc f est croissante, et f(0)
= 0, cqfd. Pour moi ça marche (mais j'ai peut-être fait une bourde bien
sûr).

En outre une bonne indication pour sortir cette inégalité est de s'inspirer
du développement en série entière de la fonction (pour son rayon de
convergence) et de vérifier que l'égalité tient toujours sur R entier, mais
c'est pas au programme de MPSI.

[Anonyme]

Jusque là j'ai compris. Mais la dernière inégalité ne m'est pas plus
évidente que la première... Si j'utilise la convexité de exp, je suis à
nouveau coincé par la concavité de ln. J'ai l'impression d'être
particulièrement obtu sur ce coup.

"albert junior" a écrit dans le message
de news: 41ED3EA1.7030501@hotmail.com...
> Loïc a écrit:[color=green]
> > Désolé. Je suis un peu lent, mais j'ai toujours un pb. (1+x)^a>=1+ax[/color]
n'est[color=green]
> > pas vrai si 0 > Ou qque chose m'échappe ?
>
> Je me permets de revenir à l'énoncé original : tu veux montrer que :
> 1+x^a*y^b
> En prenant le logarithme de chaque côté on obtient :
> ln(1+ e^(a*lnx+b*lny) ici l'"astuce" consiste à écrire à droite x = e^(lnx) et y = e^(lny), on
> doit alors montrer :
> ln(1+e^(a*lnx+b*lny) soit en posant X = lnx et Y = lny
> ln(1+e^(aX+bY)) ... c'est plus clair ?
>
> --
> albert
>[/color]

[Anonyme]

Pour moi si x>0 alors (1+x)>1 donc (1+x)^(a-1)=1/(1+x)^(1-a)0
Y aurait pas de pb si on avait (a-1)>0.
Autrement dit, les fonctions puissance sont croissantes sur ]0;+oo[ si
l'exposant est >0, décroissante s'il est a écrit dans le message de
news: 41ed6c20$0$7124$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green]
> > Désolé. Je suis un peu lent, mais j'ai toujours un pb. (1+x)^a>=1+ax[/color]
n'est[color=green]
> > pas vrai si 0 > Ou qque chose m'échappe ?
>
> Voyons, on a: f(x) = (1+x)^a - 1 - ax; df(x)/dx = a*(1+x)^(a-1)-a, ce qui
> est positif si x est positif (c'est le cas). Donc f est croissante, et[/color]
f(0)
> = 0, cqfd. Pour moi ça marche (mais j'ai peut-être fait une bourde bien
> sûr).
>
> En outre une bonne indication pour sortir cette inégalité est de
s'inspirer
> du développement en série entière de la fonction (pour son rayon de
> convergence) et de vérifier que l'égalité tient toujours sur R entier,
mais
> c'est pas au programme de MPSI.
>
>

[Anonyme]

Loïc a écrit:
> Jusque là j'ai compris. Mais la dernière inégalité ne m'est pas plus
> évidente que la première... Si j'utilise la convexité de exp, je suis à
> nouveau coincé par la concavité de ln. J'ai l'impression d'être
> particulièrement obtu sur ce coup.

parfois il est plus rapide de dériver deux fois la fonction...

--
albert